Câu hỏi:
13/07/2024 1,872Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho AC > BC. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây AC ở H. Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt tia OH ở D. BD cắt đường tròn tâm O ở E.
a) Chứng minh HA = HC và \(\widehat {DCO} = 90^\circ \)
b) Chứng minh DH . DO = DE . DB
c) Trên tia đối của EA lấy F sao cho E là trung điểm AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc AD ở K. KF cắt BC ở M. Chứng minh MK = MF.
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Vì A, C cùng thuộc (O), OH ⊥ AC
Nên H là trung điểm của AC (liên hệ giữa đường kính và dây cung)
Suy ra AH = HC
Vì OA = OC nên tam giác AOC cân tại O
Mà OH là đường cao
Suy ra OH là phân giác của góc AOC
Do đó \(\widehat {AOH} = \widehat {HOC}\)
Xét tam giác DAO và tam giác DCO có
DO là cạnh chung
\(\widehat {AOD} = \widehat {DOC}\) (chứng minh trên)
OA = OC
Do đó △DAO = △DCO (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {DAO} = \widehat {DCO}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {DAO} = 90^\circ \) (vì DA là tiếp tuyến của (O))
Nên \(\widehat {DCO} = 90^\circ \)
b) Xét tam giác ADO vuông tại A có AH ⊥ DO
Nên DH . DO = AD2 (1)
Vì E thuộc đường tròn (O) đường kính AB
Nên tam giác ABE vuông tại E
Suy ra AE ⊥ BE
Xét tam giác ADB vuông tại A có AE ⊥ DB
Nên DE . DB = AD2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra DH . DO = DE . DB
c) Gọi P là giao điểm của AM và DO, Q là giao điểm của AD và EP
Xét tam giác ABM có OP // BM, OA = OB
Suy ra P là trung điểm của AM
Xét tam giác AMF có
P là trung điểm của AM, E là trung điểm của AF
Suy ra PE là đường trung bình
Do đó PE // MF
Mà MF ⊥ AD, AB ⊥ AD
Suy ra PE // KF // AB
Xét tam giác AKF có EA = EF, QE // FK
Suy ra Q là trung điểm của AK
Xét tam giác ADB có \(\frac{{PQ}}{{AO}} = \frac{{DP}}{{DO}} = \frac{{PE}}{{OB}}\)
Mà AO = BO nên PQ = PE
Xét tam giác AKF có \(\frac{{PQ}}{{KM}} = \frac{{PE}}{{MF}}\left( { = \frac{{AP}}{{AM}}} \right)\)
Suy ra KM = MF
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) AB2 = BH . BC;
b) AH2 = BH . HC;
c) AB . AC = AH . BC;
d) AC2 = CH . BC.
Câu 2:
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).
Câu 3:
Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.
b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.
Câu 4:
Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.
Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).
Câu 5:
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng d ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP cắt đường thẳng (d’) ở N.
a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân
b) Kẻ OI vuông góc MN. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại I
c) Chứng minh AM . BN = R2
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.
Câu 6:
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được:
a) Ít nhất 2 bóng tốt.
b) Ít nhất 1 bóng tốt.
Câu 7:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận