Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(– 1; 2), B(2; 3), C(0; 2). Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 1} \right)\) suy ra \(BC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 \)

Gọi H(x; y) thuộc đường thẳng BC là hình chiếu của A lên BC

Nên \(\overrightarrow {BH} = k\overrightarrow {BC} \) (với \(\overrightarrow {BH} = \left( {x - 2;y - 3} \right)\))

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 2k\\y - 3 = - k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2k\\y = 3 - k\end{array} \right.\)

Suy ra H(2 – 2k; 3 – k). Khi đó \(\overrightarrow {AH} = \left( {3 - 2k;1 - k} \right)\).

Vì AH ⊥ BC nên \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\)

⟺ (3 – 2k)( – 2) + (1 – k)( – 1) = 0

⟺ – 6 + 4k – 1 + k = 0

⟺ k = \(\frac{7}{5}\)

Suy ra H\(\left( {\frac{{ - 4}}{5};\frac{8}{5}} \right)\) và \(\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{1}{5};\frac{{ - 2}}{5}} \right)\).

Suy ra \(AH = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)}^2}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Ta có \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5 = \frac{1}{2}\]

Vậy H\(\left( {\frac{{ - 4}}{5};\frac{8}{5}} \right)\) và \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\).