Câu hỏi:

13/07/2024 8,727

Cho A(3; 2), B(2; 0), C(5; 0)

a) Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên đường thẳng BC.

b) Gọi I là trung điểm của AC. Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho MA + MI nhỏ nhất.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

a) Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {3;0} \right)\)

Gọi H(x; y) thuộc đường thẳng BC là hình chiếu của A lên BC

Nên \(\overrightarrow {BH} = k\overrightarrow {BC} \) (với \(\overrightarrow {BH} = \left( {x - 2;y} \right)\))

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 3k\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3k\\y = 0\end{array} \right.\)

Suy ra H(2 – 3k; 0). Khi đó \(\overrightarrow {AH} = \left( { - 1 - 3k; - 2} \right)\).

Vì AH BC nên \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\)

(– 1 – 3k).3 + (–2).0 = 0

– 1 – 3k = 0

k = \(\frac{{ - 1}}{3}\)

Suy ra H(3; 0).

b) Vì I là trung điểm AC nên I(4; 1).

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {3;0} \right)\) suy ra \({\overrightarrow n _{BC}} = \left( {0;3} \right)\) nên phương trình BC là:

           0(x – 2) + 3(y – 0) = 0 Û y = 0.

A và I nằm cùng phía so với BC

Gọi I’ là điểm đối xứng I qua BC. Suy ra I’ (4; – 1)

Vì M nằm trên BC nên MI = MI’

Suy ra MI + MA = MI’ + MA

Để MA + MI nhỏ nhất thì MA + MI’ nhỏ nhất

Hay M, A, I’ thẳng hàng

Suy ra M là giao điểm của BC và AI’

Ta có \(\overrightarrow {AI'} = \left( {1; - 3} \right)\)

Suy ra \({\overrightarrow n _{AI'}} = \left( {3;1} \right)\)

Nên ta có phương trình AI’ là:

3(x – 3) + (y – 2) = 0

3x + y – 11 = 0

Với y = 0 ta có \(x = \frac{{11}}{3}\).

Suy ra M\(\left( {\frac{{11}}{3};0} \right)\)

Vậy M\(\left( {\frac{{11}}{3};0} \right)\) thì MA + MI nhỏ nhất.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) Xét ∆ABH và ∆CBA có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

\(\widehat {ABC}\) chung.

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AB2 = BH . BC.

b) Vì tam giác AHC vuông tại H nên  \(\widehat {HCA} + \widehat {HAC} = 90^\circ \)(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

\(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)

Xét ∆AHB và ∆CHA có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)(chứng minh trên)

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AH2 = BH . CH.

c) Ta có \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\]

Suy ra AB . AC = AH . BC.

d) Xét ∆CAH và ∆CBA có:

\(\widehat {CHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).

\(\widehat {ACB}\) chung.

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AC2 = CH . BC.

Lời giải

Lời giải

a) Ta có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \)

= \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)

= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {CB} + (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} )\)

= \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)

Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \)

= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CE} \)

= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)

= \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \)

Vậy \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay