Câu hỏi:

26/03/2023 1,134

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A. Lấy điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) tại C (C khác A). Tiếp tuyến của đường tròn tại B cắt AC tại D và cắt MC tại F. Nối OM cắt AC tại E

a) Chứng minh tứ giác OBDE nội tiếp.

b) Chứng minh AC. AD = 4R2.

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMOF.

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập hơn 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.

Nâng cấp VIP Thi Thử Ngay

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Xét (O) có MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Suy ra MA = MC

Hay M thuộc trung trực của AC                               (1)

Vì A, D cùng thuộc (O) nên OA = OD          

Suy ra O thuộc đường trung trực của AC                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra MO AC

Suy ra \(\widehat {OEC} = 90^\circ \)

Vì BD là tiếp tuyến của (O) nên BD BO

Suy ra \(\widehat {OB{\rm{D}}} = 90^\circ \)

Xét tứ giác OBDE\(\widehat {OED} + \widehat {OBD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác OBDE nội tiếp

Vậy tứ giác OBDE nội tiếp

b) Vì tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB

Nên tam giác ABC vuông tại C

Suy ra AC BC

Xét tam giác ABD vuông tại B có BC AD

Suy ra AC. AD = AB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AB = 2R

Suy ra AC . AD = 4R2

Vậy AC . AD = 4R2

c) Xét (O) có MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Suy ra OM là phân giác của góc AOC, MO là phân giác của góc AMC

Do đó \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\), \(\widehat {OMA} = \widehat {CMO}\)

Xét (O) có FC, FB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại F

Suy ra OF là phân giác của góc BOC

Do đó \(\widehat {COF} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\)

Khi đó :

Media VietJack

Suy ra tam giác MFO vuông tại O

Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF là trung điểm I của MF

Xét tam giác MFO vuông tại O có OI là trung tuyến

Suy ra IO = IM = IF

Do đó tam giác IMO cân tại I

Suy ra \(\widehat {I{\rm{O}}M} = \widehat {IM{\rm{O}}}\)

Mà \(\widehat {AMO} = \widehat {IM{\rm{O}}}\) (chứng minh câu trên)

Suy ra \(\widehat {AMO} = \widehat {I{\rm{OM}}}\)

Vì tam giác AMO vuông tại A nên \(\widehat {AMO} + \widehat {{\rm{AOM}}} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay \(\widehat {MOI} + \widehat {{\rm{AOM}}} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AOI} = 90^\circ \)

Do đó AO OI

Xét (I; IO) có AB OI

Suy ra AB là tiếp tuyến

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF.

Quảng cáo

book vietjack

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.

c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).

Xem đáp án » 26/03/2023 25,104

Câu 2:

Một chiếc cổng hình Parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ ở hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng Parabol là 4 m  còn kích thước cửa ở giữa là 3 m × 4 m . Hãy tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.
Media VietJack

Xem đáp án » 26/03/2023 6,506

Câu 3:

Cho hàm số y = (2 – m)x + m + 1 (với m là tham số và m 2) có đồ thị là đường thẳng d.

a) Khi m = 0, hãy vẽ d trên trục tọa độ Oxy.

b) Tìm m để d cắt đường thẳng y = 2x – 5 tại điểm có hoành độ bng 2.

c) Tìm m để d cùng với các trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích bẳng 2.

Xem đáp án » 25/03/2023 4,153

Câu 4:

Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AF // CE

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.

Xem đáp án » 26/03/2023 3,183

Câu 5:

Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, d là đường thẳng qua A và song song BC, khi M di động trên d thì giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là:

Xem đáp án » 26/03/2023 3,060

Câu 6:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {{\rm{EF}}} = \overrightarrow {FB} \)

Xem đáp án » 26/03/2023 2,878

Câu 7:

Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thỏa mãn các đẳng thức sau:

a) \(2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

b) \(2\overrightarrow {J{\rm{A}}} + \overrightarrow {JC} - \overrightarrow {JB} = \overrightarrow {CA} \)

c) \(\overrightarrow {{\rm{KA}}} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = 2\overrightarrow {BC} \)

d) \(3\overrightarrow {{\rm{LA}}} + 2\overrightarrow {LC} - \overrightarrow {LB} = \overrightarrow 0 \)

Xem đáp án » 26/03/2023 2,083

Bình luận


Bình luận