Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A. Lấy điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) tại C (C khác A). Tiếp tuyến của đường tròn tại B cắt AC tại D và cắt MC tại F. Nối OM cắt AC tại E

a) Chứng minh tứ giác OBDE nội tiếp.

b) Chứng minh AC. AD = 4R².

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMOF.

Lời giải

a) Xét (O) có MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Suy ra MA = MC

Hay M thuộc trung trực của AC                               (1)

Vì A, D cùng thuộc (O) nên OA = OD          

Suy ra O thuộc đường trung trực của AC                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra MO ⊥ AC

Suy ra \(\widehat {OEC} = 90^\circ \)

Vì BD là tiếp tuyến của (O) nên BD ⊥ BO

Suy ra \(\widehat {OB{\rm{D}}} = 90^\circ \)

Xét tứ giác OBDE có \(\widehat {OED} + \widehat {OBD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác OBDE nội tiếp

Vậy tứ giác OBDE nội tiếp

b) Vì tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB

Nên tam giác ABC vuông tại C

Suy ra AC ⊥ BC

Xét tam giác ABD vuông tại B có BC ⊥ AD

Suy ra AC. AD = AB² (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AB = 2R

Suy ra AC . AD = 4R²

Vậy AC . AD = 4R²

c) Xét (O) có MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Suy ra OM là phân giác của góc AOC, MO là phân giác của góc AMC

Do đó \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\), \(\widehat {OMA} = \widehat {CMO}\)

Xét (O) có FC, FB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại F

Suy ra OF là phân giác của góc BOC

Do đó \(\widehat {COF} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\)

Khi đó :

Suy ra tam giác MFO vuông tại O

Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF là trung điểm I của MF

Xét tam giác MFO vuông tại O có OI là trung tuyến

Suy ra IO = IM = IF

Do đó tam giác IMO cân tại I

Suy ra \(\widehat {I{\rm{O}}M} = \widehat {IM{\rm{O}}}\)

Mà \(\widehat {AMO} = \widehat {IM{\rm{O}}}\) (chứng minh câu trên)

Suy ra \(\widehat {AMO} = \widehat {I{\rm{OM}}}\)

Vì tam giác AMO vuông tại A nên \(\widehat {AMO} + \widehat {{\rm{AOM}}} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay \(\widehat {MOI} + \widehat {{\rm{AOM}}} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AOI} = 90^\circ \)

Do đó AO ⊥ OI

Xét (I; IO) có AB ⊥ OI

Suy ra AB là tiếp tuyến

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF.