Câu hỏi:

13/07/2024 5,653

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A. Lấy điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) tại C (C khác A). Tiếp tuyến của đường tròn tại B cắt AC tại D và cắt MC tại F. Nối OM cắt AC tại E

a) Chứng minh tứ giác OBDE nội tiếp.

b) Chứng minh AC. AD = 4R2.

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMOF.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Xét (O) có MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Suy ra MA = MC

Hay M thuộc trung trực của AC                               (1)

Vì A, D cùng thuộc (O) nên OA = OD          

Suy ra O thuộc đường trung trực của AC                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra MO AC

Suy ra \(\widehat {OEC} = 90^\circ \)

Vì BD là tiếp tuyến của (O) nên BD BO

Suy ra \(\widehat {OB{\rm{D}}} = 90^\circ \)

Xét tứ giác OBDE\(\widehat {OED} + \widehat {OBD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác OBDE nội tiếp

Vậy tứ giác OBDE nội tiếp

b) Vì tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB

Nên tam giác ABC vuông tại C

Suy ra AC BC

Xét tam giác ABD vuông tại B có BC AD

Suy ra AC. AD = AB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AB = 2R

Suy ra AC . AD = 4R2

Vậy AC . AD = 4R2

c) Xét (O) có MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Suy ra OM là phân giác của góc AOC, MO là phân giác của góc AMC

Do đó \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\), \(\widehat {OMA} = \widehat {CMO}\)

Xét (O) có FC, FB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại F

Suy ra OF là phân giác của góc BOC

Do đó \(\widehat {COF} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\)

Khi đó :

Media VietJack

Suy ra tam giác MFO vuông tại O

Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF là trung điểm I của MF

Xét tam giác MFO vuông tại O có OI là trung tuyến

Suy ra IO = IM = IF

Do đó tam giác IMO cân tại I

Suy ra \(\widehat {I{\rm{O}}M} = \widehat {IM{\rm{O}}}\)

Mà \(\widehat {AMO} = \widehat {IM{\rm{O}}}\) (chứng minh câu trên)

Suy ra \(\widehat {AMO} = \widehat {I{\rm{OM}}}\)

Vì tam giác AMO vuông tại A nên \(\widehat {AMO} + \widehat {{\rm{AOM}}} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay \(\widehat {MOI} + \widehat {{\rm{AOM}}} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AOI} = 90^\circ \)

Do đó AO OI

Xét (I; IO) có AB OI

Suy ra AB là tiếp tuyến

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.

c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).

Xem đáp án » 13/07/2024 180,172

Câu 2:

Một chiếc cổng hình Parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ ở hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng Parabol là 4 m  còn kích thước cửa ở giữa là 3 m × 4 m . Hãy tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.
Media VietJack

Xem đáp án » 13/07/2024 33,297

Câu 3:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {{\rm{EF}}} = \overrightarrow {FB} \)

Xem đáp án » 13/07/2024 27,121

Câu 4:

Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh

a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)

b) AH . IC = HI . HC = HO . BC

c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI

d) AO vuông góc BI.

Xem đáp án » 13/07/2024 21,637

Câu 5:

Chứng minh đẳng thức

a) cos4 x – sin4 x = cos2x.

b) cos4 x + sin4 x = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)cos 4x.

c) \(\frac{{1 - c{\rm{os2x}}}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\)= tanx.

Xem đáp án » 13/07/2024 20,053

Câu 6:

Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AF // CE

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.

Xem đáp án » 13/07/2024 16,203

Câu 7:

Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 2x2 + 4x – 1;

b) y = – x2 + 2x + 3;

c) y = – 3x2 + 6x;

d) y = 2x2 – 5.

Xem đáp án » 13/07/2024 15,981
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay