Cho phương trình: (m + 1)x² – 2(m – 1)x + m – 2 = 0. Xác định m để phương trình có nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{7}{4}\).

Lời giải

Xét phương trình: (m + 1)x² – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 (1).

Để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.\) (*)

Ta có △’ = b’² – ac

               = [–(m – 1)]² – (m + 1)(m – 2)

               = m² – 2m + 1 – m² + m + 2

               = 3 – m

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\3 - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\m \le 3\end{array} \right.\)

Theo hệ thức Vi – ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2(m - 1)}}{{m + 1}}\\{x_1}.{x_2} = \frac{{m - 2}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Theo bài, \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{7}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{7}{4}\) \( \Leftrightarrow \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m + 1}}:\frac{{m - 2}}{{m + 1}} = \frac{7}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m + 1}}.\frac{{m + 1}}{{m - 2}} = \frac{7}{4} \Leftrightarrow \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m - 2}} = \frac{7}{4}\)

⇔ 8(m – 1) = 7(m – 2)

⇔ 8m – 8 = 7m – 14

⇔ m = – 6 (thỏa mãn)

Vậy m = – 6 thì phương trình có nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{7}{4}\).