Giải các phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx sau

a) sin² x + sin 2x + 3cos² x = 3

b) 3sin² 2x – 5sin 2x cos 2x – 8cos² 2x = 0

c) cos² x – 3sin 2x cos 2x + 1 = 0

Lời giải

a) sin² x + sin 2x + 3cos² x = 3

⇔ sin² x + 2sin x cos x + 3cos² x = 3

+) cos x = 0 không là nghiệm của phương trình

+) cos x ≠ 0, phương trình có dạng

tan² x + 2tan x + 3 = 3.\(\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\)

⇔ tan² x + 2tan x + 3 = 3(1 + tan² x)

⇔ tan² x + 2tan x + 3 – 3 – 3tan² x = 0

⇔ – 2tan² x + 2tan x = 0

⇔ tan² x – tan x = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{tan x = 0}}\\{\rm{tan x = 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x = k}}\pi \\{\rm{x = }}\frac{\pi }{4} + {\rm{k}}\pi \end{array} \right.\]

Vậy x = kπ, x = \(\frac{\pi }{4}\)+ kπ.

b) 3sin² 2x – 5sin 2x cos 2x – 8cos² 2x = 0

+) cos x = 0 không là nghiệm của phương trình

+) cos x ≠ 0, phương trình có dạng

3tan² 2x – 5tan 2x – 8 = 0

⇔ (tan 2x – 1)(3tan 2x + 8) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 2{\rm{x = 1}}\\{\rm{tan2x}} = \frac{{ - 8}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} = \frac{\pi }{4} + k\pi \\2{\rm{x}} = \arctan \frac{{ - 8}}{3} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\\{\rm{x}} = \arctan \frac{{ - 8}}{6} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \[{\rm{x}} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2};x = \arctan \frac{{ - 8}}{3} + k\pi \].

c) cos² x – 3sin 2x cos 2x + 1 = 0

+) cos x = 0 không là nghiệm của phương trình

+) cos x ≠ 0, phương trình có dạng

1 – 3tan 2x + \(\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x}}\)= 0

⇔ 1 – 3tan 2x + 1 + tan² 2x = 0

⇔ tan² 2x – 3tan 2x + 2= 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 2{\rm{x = 1}}\\{\rm{tan2x}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} = \frac{\pi }{4} + k\pi \\2{\rm{x}} = \arctan 2 + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\\{\rm{x}} = \arctan 1 + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \[{\rm{x}} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2};x = \arctan 1 + \frac{{k\pi }}{2}\].