Cho tam giác ABC có \(\widehat A\) > 90°, kẻ AD vuông góc với AB, AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia AB và AC), kẻ AE vuông góc với AC, AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB, AC). Kẻ AH vuông góc với BC, AH kéo dài cắt DE tại M.

a) Chứng minh hai tam giác ABE; ADC bằng nhau và BE vuông góc với DC.

b) Từ D kẻ DP vuông góc với AM, từ E kẻ EQ vuông góc với AM. Chứng minh
DP = AH.
c) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng DE
d) Giả sử EQ = 3 cm; AQ = 4 cm. Từ Q hạ QI vuông góc với AE. Tính độ dài đoạn
thẳng AI; IE.

Lời giải

a) Ta có \(\widehat {BAE} + \widehat {EAD} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)

\(\widehat {CA{\rm{D}}} + \widehat {EAD} = \widehat {CAE} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CAD}\)

Xét tam giác ABE và tam giác ADC có

AB = AD (giả thiết)

\(\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CAD}\)(chứng minh trên)

AC = AE (giả thiết)

Suy ra △ ABE = △ ADC (c.g.c)

Do đó \(\widehat {BEA} = \widehat {ACD}\)

Vì tam giác AEC vuông cân tại A

Nên \(\widehat {CEA} = \widehat {ACE} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Mà \(\widehat {BEA} = \widehat {ACD}\)

Suy ra \(\widehat {BEA} = \widehat {AEC} = 45^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BEA} + \widehat {AEC} = \widehat {BEC} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \)

Hay BE ⊥ DC

b) Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {HAD} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)

Vì tam giác ABH vuông tại H nên \(\widehat {BAH} + \widehat {HBA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {DAH} = \widehat {HBA}\)

Vì tam giác ADP vuông tại H nên \(\widehat {PA{\rm{D}}} + \widehat {P{\rm{D}}A} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {P{\rm{D}}A}\)

Xét tam giác ABH và tam giác DAP có

\(\widehat {DAH} = \widehat {HBA}\) (chứng minh trên)

AB = AD (giả thiết)

\(\widehat {BAH} = \widehat {P{\rm{D}}A}\)(chứng minh trên)

Suy ra △ ABH = △ DAP (g.c.g)

Do đó AH = DP (hai góc tương ứng)

Vậy AH = DP.

c) Ta có \(\widehat {EAQ} + \widehat {CAQ} = \widehat {EAC} = 90^\circ \)

Vì tam giác AEQ vuông tại Q nên \(\widehat {QAE} + \widehat {QEA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {CAQ} = \widehat {QEA}\)

Xét tam giác AEQ và tam giác CAH có

\(\widehat {AQE} = \widehat {CHA}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AE = AC (giả thiết)

\(\widehat {CAQ} = \widehat {QEA}\) (chứng minh trên)

Suy ra △ AEQ = △ CAH (cạnh huyển – góc nhọn)

Do đó AH = EQ (hai góc tương ứng)

Mà AH = DP (chứng minh câu b)

Suy ra EQ = DP

Ta có EQ ⊥ AM, DP ⊥ AM

Suy ra EQ // PD

Xét tứ giác EQDP có EQ // PD, EQ = DP

Suy ra EQDP là hình bình hành

Mà DE cắt PQ ở M

Suy ra M là trung điểm của DE

Vậy M là trung điểm của DE.

d) Vì tam giác AQE vuông ở Q nên AE² = EQ² + AQ²

Hay AE² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Suy ra AE = 5

Xét tam giác AEQ vuông tại Q có QI ⊥ AE

Suy ra EQ² = EI . EA (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay 3² = EI . 5

Suy ra EI = 1,8

Ta có AI = AE – EI = 5 – 1,8 = 3,2

Vậy EI = 1,8 cm và AI = 3,2 cm.