Câu hỏi:
13/07/2024 1,421
Cho tam giác ABC có \(\widehat A\) > 90°, kẻ AD vuông góc với AB, AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia AB và AC), kẻ AE vuông góc với AC, AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB, AC). Kẻ AH vuông góc với BC, AH kéo dài cắt DE tại M.
a) Chứng minh hai tam giác ABE; ADC bằng nhau và BE vuông góc với DC.
b) Từ D kẻ DP vuông góc với AM, từ E kẻ EQ vuông góc với AM. Chứng minh
DP = AH.
c) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng DE
d) Giả sử EQ = 3 cm; AQ = 4 cm. Từ Q hạ QI vuông góc với AE. Tính độ dài đoạn
thẳng AI; IE.
Cho tam giác ABC có \(\widehat A\) > 90°, kẻ AD vuông góc với AB, AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia AB và AC), kẻ AE vuông góc với AC, AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB, AC). Kẻ AH vuông góc với BC, AH kéo dài cắt DE tại M.
a) Chứng minh hai tam giác ABE; ADC bằng nhau và BE vuông góc với DC.
b) Từ D kẻ DP vuông góc với AM, từ E kẻ EQ vuông góc với AM. Chứng minh
DP = AH.
c) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng DE
d) Giả sử EQ = 3 cm; AQ = 4 cm. Từ Q hạ QI vuông góc với AE. Tính độ dài đoạn
thẳng AI; IE.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Ta có \(\widehat {BAE} + \widehat {EAD} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)
\(\widehat {CA{\rm{D}}} + \widehat {EAD} = \widehat {CAE} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CAD}\)
Xét tam giác ABE và tam giác ADC có
AB = AD (giả thiết)
\(\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CAD}\)(chứng minh trên)
AC = AE (giả thiết)
Suy ra △ ABE = △ ADC (c.g.c)
Do đó \(\widehat {BEA} = \widehat {ACD}\)
Vì tam giác AEC vuông cân tại A
Nên \(\widehat {CEA} = \widehat {ACE} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
Mà \(\widehat {BEA} = \widehat {ACD}\)
Suy ra \(\widehat {BEA} = \widehat {AEC} = 45^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BEA} + \widehat {AEC} = \widehat {BEC} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \)
Hay BE ⊥ DC
b) Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {HAD} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)
Vì tam giác ABH vuông tại H nên \(\widehat {BAH} + \widehat {HBA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Suy ra \(\widehat {DAH} = \widehat {HBA}\)
Vì tam giác ADP vuông tại H nên \(\widehat {PA{\rm{D}}} + \widehat {P{\rm{D}}A} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {P{\rm{D}}A}\)
Xét tam giác ABH và tam giác DAP có
\(\widehat {DAH} = \widehat {HBA}\) (chứng minh trên)
AB = AD (giả thiết)
\(\widehat {BAH} = \widehat {P{\rm{D}}A}\)(chứng minh trên)
Suy ra △ ABH = △ DAP (g.c.g)
Do đó AH = DP (hai góc tương ứng)
Vậy AH = DP.
c) Ta có \(\widehat {EAQ} + \widehat {CAQ} = \widehat {EAC} = 90^\circ \)
Vì tam giác AEQ vuông tại Q nên \(\widehat {QAE} + \widehat {QEA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Suy ra \(\widehat {CAQ} = \widehat {QEA}\)
Xét tam giác AEQ và tam giác CAH có
\(\widehat {AQE} = \widehat {CHA}\left( { = 90^\circ } \right)\)
AE = AC (giả thiết)
\(\widehat {CAQ} = \widehat {QEA}\) (chứng minh trên)
Suy ra △ AEQ = △ CAH (cạnh huyển – góc nhọn)
Do đó AH = EQ (hai góc tương ứng)
Mà AH = DP (chứng minh câu b)
Suy ra EQ = DP
Ta có EQ ⊥ AM, DP ⊥ AM
Suy ra EQ // PD
Xét tứ giác EQDP có EQ // PD, EQ = DP
Suy ra EQDP là hình bình hành
Mà DE cắt PQ ở M
Suy ra M là trung điểm của DE
Vậy M là trung điểm của DE.
d) Vì tam giác AQE vuông ở Q nên AE2 = EQ2 + AQ2
Hay AE2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
Suy ra AE = 5
Xét tam giác AEQ vuông tại Q có QI ⊥ AE
Suy ra EQ2 = EI . EA (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay 32 = EI . 5
Suy ra EI = 1,8
Ta có AI = AE – EI = 5 – 1,8 = 3,2
Vậy EI = 1,8 cm và AI = 3,2 cm.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.
c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.
c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Xem đáp án »
13/07/2024
73,514
Câu 2:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {{\rm{EF}}} = \overrightarrow {FB} \)
Xem đáp án »
13/07/2024
21,486
Câu 3:
Chứng minh đẳng thức
a) cos4 x – sin4 x = cos2x.
b) cos4 x + sin4 x = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)cos 4x.
c) \(\frac{{1 - c{\rm{os2x}}}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\)= tanx.
Chứng minh đẳng thức
a) cos4 x – sin4 x = cos2x.
b) cos4 x + sin4 x = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)cos 4x.
c) \(\frac{{1 - c{\rm{os2x}}}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\)= tanx.
Xem đáp án »
13/07/2024
16,614
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AF // CE
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AF // CE
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
Xem đáp án »
13/07/2024
13,214
Câu 5:
Một chiếc cổng hình Parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ ở hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng Parabol là 4 m còn kích thước cửa ở giữa là 3 m × 4 m . Hãy tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.
Xem đáp án »
13/07/2024
12,113
Câu 6:
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x2 + 4x – 1;
b) y = – x2 + 2x + 3;
c) y = – 3x2 + 6x;
d) y = 2x2 – 5.
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x2 + 4x – 1;
b) y = – x2 + 2x + 3;
c) y = – 3x2 + 6x;
d) y = 2x2 – 5.
Xem đáp án »
13/07/2024
8,444
Câu 7:
Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh
a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
b) AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI
d) AO vuông góc BI.
Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh
a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
b) AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI
d) AO vuông góc BI.
Xem đáp án »
13/07/2024
7,917
về câu hỏi!