Câu hỏi:

26/03/2023 581

Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 6 cm , \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) . Vẽ đường tròn (O) đường kính AC cắt BC tại D, dây DE vuông góc với AC tại H

a) Tính BC 

b) Chứng minh tam giác CDE đều

c) Qua B vẽ đường thẳng tiếp xúc với (O) tại M. Chứng minh tam giác BDM đồng dạng với tam giác BMC

d) Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên EC và I là trung điểm của HK. Chứng minh DK vuông CI

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập hơn 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.

Nâng cấp VIP Thi Thử Ngay

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có \(\sin \widehat {ACB} = \frac{{AC}}{{BC}}\)

Suy ra \(\sin 30^\circ = \frac{6}{{BC}}\)

Suy ra BC = 6 . 2 = 12 (cm)

b) Xét đường tròn đường kính AC có DE AC

Suy ra AC đi qua trung điểm của DE, H là trung điểm của DE

Xét tam giác ECD có CH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

Suy ra tam giác ECD cân tại C và CH là tia phân giác của \(\widehat {EC{\rm{D}}}\)

Do đó \(\widehat {EC{\rm{D}}} = 2\widehat {ACB} = 2.30 = 60^\circ \)

Suy ra tam giác ECD đều

Vậy tam giác ECD đều

c) Xét đường tròn đường kính AC có \(\widehat {{\rm{BMD}}},\widehat {{\rm{MCD}}}\) là hai góc chắn cung MD

Suy ra \(\widehat {{\rm{BMD}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\)

Xét tam giác MDB và tam giác CMB có

\(\widehat {{\rm{BMD}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {{\rm{MBC}}}\) là góc chung

Suy ra  tam giác BDM đồng dạng với tam giác BMC

Vậy tam giác BDM đồng dạng với tam giác BMC

d) Vì tam giác EHK vuông tại K

Nên \(\widehat {KEH} + \widehat {KHE} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {KHC} + \widehat {KHE} = \widehat {CHE} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {KEH} = \widehat {KHC}\)

Xét tam giác KEH và tam giác KHC có

\(\widehat {KEH} = \widehat {KHC}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {EKH} = \widehat {HKC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{KH}}{{HC}} = \frac{{EK}}{{EH}}\)

Suy ra \(\frac{{KH}}{{2HC}} = \frac{{EK}}{{2EH}}\)

Do đó \(\frac{{IH}}{{HC}} = \frac{{EK}}{{DE}}\)

Xét tam giác IHC và tam giác KED có

\(\frac{{IH}}{{HC}} = \frac{{EK}}{{DE}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {KED} = \widehat {IHC}\)(chứng minh trên)

Do đó  (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {KDE} = \widehat {ICH}\) (hai góc tương ứng)

Vì tam giác CHD vuông tại H

Nên \(\widehat {HC{\rm{D}}} + \widehat {HDC} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

\( \Leftrightarrow \widehat {HC{\rm{D}}} + \widehat {HDK} + \widehat {KDC} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow \widehat {HC{\rm{D}}} + \widehat {ICH} + \widehat {KDC} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow \widehat {IC{\rm{D}}} + \widehat {KDC} = 90^\circ \)

Gọi giao điểm của CI và KD là O

Xét tam giác OCD có \(\widehat {OC{\rm{D}}} + \widehat {ODC} + \widehat {DOC} = 180^\circ \)

Hay \(\widehat {DOC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Suy ra CI DK

Vậy CI DK.

Quảng cáo

book vietjack

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.

c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).

Xem đáp án » 26/03/2023 25,139

Câu 2:

Một chiếc cổng hình Parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ ở hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng Parabol là 4 m  còn kích thước cửa ở giữa là 3 m × 4 m . Hãy tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.
Media VietJack

Xem đáp án » 26/03/2023 6,508

Câu 3:

Cho hàm số y = (2 – m)x + m + 1 (với m là tham số và m 2) có đồ thị là đường thẳng d.

a) Khi m = 0, hãy vẽ d trên trục tọa độ Oxy.

b) Tìm m để d cắt đường thẳng y = 2x – 5 tại điểm có hoành độ bng 2.

c) Tìm m để d cùng với các trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích bẳng 2.

Xem đáp án » 25/03/2023 4,153

Câu 4:

Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AF // CE

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.

Xem đáp án » 26/03/2023 3,184

Câu 5:

Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, d là đường thẳng qua A và song song BC, khi M di động trên d thì giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là:

Xem đáp án » 26/03/2023 3,060

Câu 6:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {{\rm{EF}}} = \overrightarrow {FB} \)

Xem đáp án » 26/03/2023 2,878

Câu 7:

Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thỏa mãn các đẳng thức sau:

a) \(2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

b) \(2\overrightarrow {J{\rm{A}}} + \overrightarrow {JC} - \overrightarrow {JB} = \overrightarrow {CA} \)

c) \(\overrightarrow {{\rm{KA}}} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = 2\overrightarrow {BC} \)

d) \(3\overrightarrow {{\rm{LA}}} + 2\overrightarrow {LC} - \overrightarrow {LB} = \overrightarrow 0 \)

Xem đáp án » 26/03/2023 2,083

Bình luận


Bình luận