Câu hỏi:

13/07/2024 3,437

Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 6 cm , \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) . Vẽ đường tròn (O) đường kính AC cắt BC tại D, dây DE vuông góc với AC tại H

a) Tính BC

b) Chứng minh tam giác CDE đều

c) Qua B vẽ đường thẳng tiếp xúc với (O) tại M. Chứng minh tam giác BDM đồng dạng với tam giác BMC

d) Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên EC và I là trung điểm của HK. Chứng minh DK vuông CI

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có \(\sin \widehat {ACB} = \frac{{AC}}{{BC}}\)

Suy ra \(\sin 30^\circ = \frac{6}{{BC}}\)

Suy ra BC = 6 . 2 = 12 (cm)

b) Xét đường tròn đường kính AC có DE ⊥ AC

Suy ra AC đi qua trung điểm của DE, H là trung điểm của DE

Xét tam giác ECD có CH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

Suy ra tam giác ECD cân tại C và CH là tia phân giác của \(\widehat {EC{\rm{D}}}\)

Do đó \(\widehat {EC{\rm{D}}} = 2\widehat {ACB} = 2.30 = 60^\circ \)

Suy ra tam giác ECD đều

Vậy tam giác ECD đều

c) Xét đường tròn đường kính AC có \(\widehat {{\rm{BMD}}},\widehat {{\rm{MCD}}}\) là hai góc chắn cung MD

Suy ra \(\widehat {{\rm{BMD}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\)

Xét tam giác MDB và tam giác CMB có

\(\widehat {{\rm{BMD}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {{\rm{MBC}}}\) là góc chung

Suy ra tam giác BDM đồng dạng với tam giác BMC

Vậy tam giác BDM đồng dạng với tam giác BMC

d) Vì tam giác EHK vuông tại K

Nên \(\widehat {KEH} + \widehat {KHE} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {KHC} + \widehat {KHE} = \widehat {CHE} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {KEH} = \widehat {KHC}\)

Xét tam giác KEH và tam giác KHC có

\(\widehat {KEH} = \widehat {KHC}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {EKH} = \widehat {HKC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{KH}}{{HC}} = \frac{{EK}}{{EH}}\)

Suy ra \(\frac{{KH}}{{2HC}} = \frac{{EK}}{{2EH}}\)

Do đó \(\frac{{IH}}{{HC}} = \frac{{EK}}{{DE}}\)

Xét tam giác IHC và tam giác KED có

\(\frac{{IH}}{{HC}} = \frac{{EK}}{{DE}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {KED} = \widehat {IHC}\)(chứng minh trên)

Do đó (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {KDE} = \widehat {ICH}\) (hai góc tương ứng)

Vì tam giác CHD vuông tại H

Nên \(\widehat {HC{\rm{D}}} + \widehat {HDC} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

\( \Leftrightarrow \widehat {HC{\rm{D}}} + \widehat {HDK} + \widehat {KDC} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow \widehat {HC{\rm{D}}} + \widehat {ICH} + \widehat {KDC} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow \widehat {IC{\rm{D}}} + \widehat {KDC} = 90^\circ \)

Gọi giao điểm của CI và KD là O

Xét tam giác OCD có \(\widehat {OC{\rm{D}}} + \widehat {ODC} + \widehat {DOC} = 180^\circ \)

Hay \(\widehat {DOC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Suy ra CI ⊥ DK

Vậy CI ⊥ DK.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA². Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.

c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M

Nên MA ⊥ OA, MB ⊥ OB, MA = MB

Suy ra \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \)

Xét tứ giác AMBO có \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác AMBO nội tiếp

Vậy tứ giác AMBO nội tiếp .

b) Xét (O) có \(\widehat {CBM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BC

\(\widehat {B{\rm{D}}M}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)

Xét tam giác MBC và tam giác MDB có

\(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)

\(\widehat {BMD}\) là góc chung

Suy ra (g.g)

Do đó \(\frac{{{\rm{MB}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{{{\rm{MC}}}}{{{\rm{MB}}}}\)

Suy ra MC . MD = MB²

Mà MA = MB (chứng minh câu a)

Suy ra MC . MD = MA² (1)

Vì MA = MB nên M thuộc trung trực của AB

Vì OA = OB nên O thuộc trung trực của AB

Suy ra MO là trung trực của AB

Do đó MO ⊥ AB

Xét tam giác MAO vuông tại A có MO ⊥ AH

Suy ra MH . MO = MA² (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MC . MD = MH . MO

c) Vì MC . MD = MH . MO nên \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\)

Xét tam giác MCH và tam giác MOD có

\(\widehat {OMD}\) là góc chung

\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\) (chứng minh trên)

Suy ra (c.g.c)

Do đó \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {MHC} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MDO} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)

Do đó tứ giác CHOD nội tiếp

Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)

Vì OC = OD nên tam giác OCD cân tại O

Suy ra \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)

Mà \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\) nên \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)

Lại có \(\widehat {MHC} = \widehat {CDO}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {MHC} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)

Suy ra \(90^\circ - \widehat {MHC} = 90^\circ - \widehat {OH{\rm{D}}}\)

Hay \(\widehat {BHC} = \widehat {BH{\rm{D}}}\)

Mà \(\widehat {BHC} + \widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CH{\rm{D}}}\)

Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \widehat {CHB}\)

Xét tam giác COD cân tại O có OK là trung tuyến

Suy ra OK là phân giác của góc COD

Do đó \(\frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2} = \widehat {{\rm{COK}}}\)

Xét (O) có \(\widehat {CH{\rm{D}}},\widehat {{\rm{ COD}}}\)cùng chắn cung CD

Suy ra \(\widehat {CH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{COD}}}\)

Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2}\)

Do đó \(\widehat {CHB} = \widehat {{\rm{COE}}}\)

Xét tứ giác CHOE có \(\widehat {CHE} = \widehat {{\rm{COE}}}\)

\(\widehat {CHE},\widehat {{\rm{COE}}}\) cùng chắn cung CE

Suy ra tứ giác CHOE nội tiếp

Suy ra \(\widehat {OHE} = \widehat {{\rm{OCE}}}\) (vì cùng chắn cung OE)

Mà \(\widehat {OHE} = {\rm{90}}^\circ \)

Nên \(\widehat {OCE} = {\rm{90}}^\circ \)

Hay OC ⊥ CE

Xét (O) có OC ⊥ CE, OC là bán kính

Suy ra EC là tiếp tuyến của (O)

Vậy EC là tiếp tuyến của (O).

Câu 2

Một chiếc cổng hình Parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ ở hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng Parabol là 4 m còn kích thước cửa ở giữa là 3 m × 4 m . Hãy tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, chiếc cổng là một phần của Parabol (P): y = ax² + bx + c với a < 0

Do parabol (P) đối xứng ua trục tung nên có trục đối xứng x = 0

Suy ra \( - \frac{b}{{2{\rm{a}}}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\)

Chiều cao của cổng parabol là 4 nên G(0; 4)

Suy ra c = 4

Do đó (P): y = ax² + 4

Vì kích thước cửa ở giữa là 3 x 4 nên E(2; 3), F(– 2; 3)

Suy ra 3 = 4a + 4

Suy ra a = \( - \frac{1}{4}\)

Do đó (P): y = \( - \frac{1}{4}\)x² + 4

Ta có \( - \frac{1}{4}\)x² + 4 = 0

\( \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.\)

Suy ra A(– 4; 0) và B(4; 0)

Do đó AB = 8 (m)

Vậy AB = 8 m.

Câu 3