Câu hỏi:

13/07/2024 2,951

Cho a, b, c > 0 và a + b + c \(\frac{3}{2}\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a + b + c + \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\) .

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có:

P = a + b + c + \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)

P = 4a + 4b + 4c + \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\) – 3a – 3b – 3c

P = \(\left( {4a + \frac{1}{a}} \right) + \left( {4b + \frac{1}{b}} \right) + \left( {4c + \frac{1}{c}} \right)\)– 3(a + b + c)

Áp dụng bất dẳng thức Cô – si ta có:

4a + \(\frac{1}{a}\)\(2\sqrt {\frac{{4a}}{4}} = 4\)

4b + \(\frac{1}{b}\)\(2\sqrt {\frac{{4b}}{4}} = 4\)

4c + \(\frac{1}{c}\)\(2\sqrt {\frac{{4c}}{4}} = 4\)

Suy ra  \(\left( {4a + \frac{1}{a}} \right) + \left( {4b + \frac{1}{b}} \right) + \left( {4c + \frac{1}{c}} \right)\)– 3(a + b + c) ≥ 4 + 4 + 4 – 3 . \(\frac{3}{2}\)

Hay P \(\frac{{15}}{2}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}4{\rm{a}} = \frac{1}{a}\\4b = \frac{1}{b}\\4c = \frac{1}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \frac{1}{4}\\{b^2} = \frac{1}{4}\\{c^2} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) (do a, b, c > 0).

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{15}}{2}\) khi a = b = c = \(\frac{1}{2}\).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.

c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).

Xem đáp án » 13/07/2024 160,124

Câu 2:

Một chiếc cổng hình Parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ ở hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng Parabol là 4 m  còn kích thước cửa ở giữa là 3 m × 4 m . Hãy tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.
Media VietJack

Xem đáp án » 13/07/2024 32,407

Câu 3:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {{\rm{EF}}} = \overrightarrow {FB} \)

Xem đáp án » 13/07/2024 27,006

Câu 4:

Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh

a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)

b) AH . IC = HI . HC = HO . BC

c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI

d) AO vuông góc BI.

Xem đáp án » 13/07/2024 20,744

Câu 5:

Chứng minh đẳng thức

a) cos4 x – sin4 x = cos2x.

b) cos4 x + sin4 x = \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\)cos 4x.

c) \(\frac{{1 - c{\rm{os2x}}}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\)= tanx.

Xem đáp án » 13/07/2024 19,587

Câu 6:

Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AF // CE

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.

Xem đáp án » 13/07/2024 15,962

Câu 7:

Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 2x2 + 4x – 1;

b) y = – x2 + 2x + 3;

c) y = – 3x2 + 6x;

d) y = 2x2 – 5.

Xem đáp án » 13/07/2024 15,627
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua