Một trường học có số học sinh xếp hàng 13, 17 lần lượt dư 4 em và 9 em, xếp hàng 5 thì vừa đủ. Tìm số học sinh của trường biết rằng số học sinh vào khoảng 2500 đến 3000 học sinh.

Lời giải

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)  cắt nhau tại M

Nên MA ⊥ OA, MB ⊥ OB, MA = MB

Suy ra \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \)

Xét tứ giác AMBO có \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác AMBO nội tiếp

Vậy tứ giác AMBO nội tiếp .

b) Xét (O) có \(\widehat {CBM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BC

\(\widehat {B{\rm{D}}M}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)

Xét tam giác MBC và tam giác MDB có

\(\widehat {CBM} = \widehat {MDB}\)

\(\widehat {BMD}\) là góc chung

Suy ra (g.g)

Do đó \(\frac{{{\rm{MB}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{{{\rm{MC}}}}{{{\rm{MB}}}}\)

Suy ra MC . MD = MB²

Mà MA = MB (chứng minh câu a)

Suy ra MC . MD = MA²                       (1)

Vì MA = MB nên M thuộc trung trực của AB

Vì OA = OB nên O thuộc trung trực của AB

Suy ra MO là trung trực của AB

Do đó MO ⊥ AB

Xét tam giác MAO vuông tại A có MO ⊥ AH

Suy ra MH . MO = MA² (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra MC . MD = MH . MO

c) Vì MC . MD = MH . MO nên \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\)

Xét tam giác MCH và tam giác MOD có

\(\widehat {OMD}\) là góc chung

\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{M{\rm{D}}}}\) (chứng minh trên)

Suy ra (c.g.c)

Do đó \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {MHC} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MDO} + \widehat {OHC} = 180^\circ \)

Do đó tứ giác CHOD nội tiếp

Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)

Vì OC = OD nên tam giác OCD cân tại O

Suy ra \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\)

Mà \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {OC{\rm{D}}}\) nên \(\widehat {O{\rm{DC}}} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)

Lại có \(\widehat {MHC} = \widehat {CDO}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {MHC} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)

Suy ra \(90^\circ - \widehat {MHC} = 90^\circ - \widehat {OH{\rm{D}}}\)

Hay \(\widehat {BHC} = \widehat {BH{\rm{D}}}\)

Mà \(\widehat {BHC} + \widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CH{\rm{D}}}\)

Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \widehat {CHB}\)

Xét tam giác COD cân tại O có OK là trung tuyến

Suy ra OK là phân giác của góc COD

Do đó \(\frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2} = \widehat {{\rm{COK}}}\)

Xét (O) có \(\widehat {CH{\rm{D}}},\widehat {{\rm{ COD}}}\)cùng chắn cung CD

Suy ra \(\widehat {CH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{COD}}}\)

Suy ra \(\frac{{\widehat {CH{\rm{D}}}}}{2} = \frac{{\widehat {{\rm{COD}}}}}{2}\)

Do đó \(\widehat {CHB} = \widehat {{\rm{COE}}}\)

Xét tứ giác CHOE có \(\widehat {CHE} = \widehat {{\rm{COE}}}\)

\(\widehat {CHE},\widehat {{\rm{COE}}}\) cùng chắn cung CE

Suy ra tứ giác CHOE nội tiếp

Suy ra \(\widehat {OHE} = \widehat {{\rm{OCE}}}\) (vì cùng chắn cung OE)

Mà \(\widehat {OHE} = {\rm{90}}^\circ \)

Nên \(\widehat {OCE} = {\rm{90}}^\circ \)

Hay OC ⊥ CE

Xét (O) có OC ⊥ CE, OC là bán kính

Suy ra EC là tiếp tuyến của (O)

Vậy EC là tiếp tuyến của (O).