Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thỏa mãn các đẳng thức sau:

a) \(2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

b) \(2\overrightarrow {J{\rm{A}}} + \overrightarrow {JC} - \overrightarrow {JB} = \overrightarrow {CA} \)

c) \(\overrightarrow {{\rm{KA}}} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = 2\overrightarrow {BC} \)

d) \(3\overrightarrow {{\rm{LA}}} + 2\overrightarrow {LC} - \overrightarrow {LB} = \overrightarrow 0 \)

Lời giải

a) Ta có \(2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

Suy ra I thuộc đoạn thẳng BC sao cho \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{3}{2}\)

b) Ta có \(2\overrightarrow {J{\rm{A}}} + \overrightarrow {JC} - \overrightarrow {JB} = \overrightarrow {CA} \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {J{\rm{A}}} + \overrightarrow {JC} - \overrightarrow {JB} = \overrightarrow {JA} - \overrightarrow {JC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {J{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {JC} - \overrightarrow {JB} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow {AB} \)

Suy ra JC // AB, JC = \(\frac{1}{2}\)AB

Vậy điểm I thuộc đường thẳng qua C song song với AB sao cho JC = \(\frac{1}{2}\)AB.

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\overrightarrow {{\rm{KA}}} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = 2\overrightarrow {BC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm{KG}}} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {KG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {KG} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {BC} \)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {{\rm{KG}}} + (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) = 2\overrightarrow {BC} \)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {{\rm{KG}}} = 2\overrightarrow {BC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm{KG}}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)

Vậy K cách G một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \).

d) \(3\overrightarrow {{\rm{LA}}} + 2\overrightarrow {LC} - \overrightarrow {LB} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow (2\overrightarrow {{\rm{LA}}} + 2\overrightarrow {LC} ) + (\overrightarrow {LA} - \overrightarrow {LB} ) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2(\overrightarrow {{\rm{LA}}} + \overrightarrow {LC} ) = \overrightarrow {AB} \)

Gọi M là trung điểm của AC

Suy ra \(2(\overrightarrow {{\rm{LM}}} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {LM} + \overrightarrow {MC} ) = \overrightarrow {AB} \)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {LM} = \overrightarrow {AB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {LM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \)

Vậy K cách G một khoảng bằng \(\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \).