Câu hỏi:
26/03/2023 728Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Qua điểm M thuộc đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại các điểm D và E, AE và BD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) DE = AD + BE.
b) Tam giác DOE vuông tại O.
c) MH vuông góc với AB.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Xét (O) có DM, DA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D
Suy ra DA = DM
Xét (O) có EM, EB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E
Suy ra EB = EM
Ta có DE = DM + ME = DA + EB
Vậy DE = AD + BE.
b) Xét (O) có DM, DA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D
Suy ra OD là tia phân giác của góc AOM
Do đó \(\widehat {AO{\rm{D}}} = \widehat {MO{\rm{D}}} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)
Xét (O) có EM, EB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E
Suy ra OE là tia phân giác của góc BOM
Do đó \(\widehat {BOE} = \widehat {EO{\rm{D}}} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)
Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra \(\frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = 90^\circ \)
Hay \(\widehat {DOM} + \widehat {EOM} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {DOE} = 90^\circ \)
Suy ra tam giác DOE vuông tại O
Vậy tam giác DOE vuông tại O.
c) Ta có AD ⊥ AB, EB ⊥ AB
suy ra AD // EB
Xét tam giác AHD có AD // EB
Nên \(\frac{{DH}}{{HB}} = \frac{{DA}}{{BE}}\)
Mà DA = DM, EB = EM
Suy ra \(\frac{{DH}}{{HB}} = \frac{{DM}}{{ME}}\)
Do đó MH // BE
Lại có EB ⊥ AB
Suy ra MH ⊥ AB
Vậy MH ⊥ AB.
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.
c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Câu 2:
Câu 3:
Cho hàm số y = (2 – m)x + m + 1 (với m là tham số và m ≠ 2) có đồ thị là đường thẳng d.
a) Khi m = 0, hãy vẽ d trên trục tọa độ Oxy.
b) Tìm m để d cắt đường thẳng y = 2x – 5 tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Tìm m để d cùng với các trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích bẳng 2.
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AF // CE
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
Câu 5:
Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, d là đường thẳng qua A và song song BC, khi M di động trên d thì giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là:
Câu 6:
Câu 7:
Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh
a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
b) AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI
d) AO vuông góc BI.
về câu hỏi!