Cho hàm số \[y = mx + 3\;\left( {{d_1}} \right)\] và \(y = - \frac{x}{m} + 3\;\left( {{d_2}} \right)\). Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂, B và C lần lượt là giao của d₁ và d₂, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải

• Vì A là giao điểm của d₁ và d₂ nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên:

\(mx + 3 = - \frac{x}{m} + 3 \Leftrightarrow mx = - \frac{x}{m}\)

\( \Leftrightarrow mx + \frac{x}{m} = 0 \Leftrightarrow x\left( {m + \frac{1}{m}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow x = 0\)

Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3).

• Vì B là giao điểm của d₁ và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên:

mx + 3 = 0 \[ \Leftrightarrow x = - \frac{3}{m}\].

Khi đó, tọa độ của điểm B là \(B\left( { - \frac{3}{m};\;0} \right)\).

• Vì C là giao điểm của d₂ và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên:

\( - \frac{x}{m} + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3m\).

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0).

Hệ số góc của d₁ là m và hệ số góc của d₂ là \( - \frac{1}{m}\) có \(m.\left( { - \frac{1}{m}} \right) = - 1\) nên hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau tại A.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là \(\frac{1}{2}AB.AC\).

Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( { - \frac{3}{m}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + 1} = 3\sqrt {\frac{{1 + {m^2}}}{{{m^2}}}} \);

\[AC = \sqrt {{{\left( {3m} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {{m^2} + 1} \]

\( \Rightarrow \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt {\frac{{1 + {m^2}}}{{{m^2}}}} \cdot 3\sqrt {{m^2} + 1} = \frac{{9\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{2\left| m \right|}} = \frac{9}{2}\left( {\left| m \right| + \frac{1}{{\left| m \right|}}} \right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương \(\left| m \right|\) và \(\frac{1}{{\left| m \right|}}\) ta có:

\(\frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2}\left( {\left| m \right| + \frac{1}{{\left| m \right|}}} \right) \ge \frac{9}{2} \cdot 2\sqrt {\left| m \right| \cdot \frac{1}{{\left| m \right|}}} = 9\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left| m \right| = \frac{1}{{\left| m \right|}}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\)

Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.