Cho hàm số [y = mx + 3 ; left( {{d_1}} right) ] và (y = - frac{x}{m} + 3 ; left( {{d_2}} right) ). Gọi A là giao điểm của d1 và d2, B và C lần lượt là giao của d1 và d2, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam...

Câu hỏi:

11/07/2024 644

Cho hàm số \[y = mx + 3\;\left( {{d_1}} \right)\] và \(y = - \frac{x}{m} + 3\;\left( {{d_2}} \right)\). Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂, B và C lần lượt là giao của d₁ và d₂, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

• Vì A là giao điểm của d₁ và d₂ nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên:

\(mx + 3 = - \frac{x}{m} + 3 \Leftrightarrow mx = - \frac{x}{m}\)

\( \Leftrightarrow mx + \frac{x}{m} = 0 \Leftrightarrow x\left( {m + \frac{1}{m}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow x = 0\)

Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3).

• Vì B là giao điểm của d₁ và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên:

mx + 3 = 0 \[ \Leftrightarrow x = - \frac{3}{m}\].

Khi đó, tọa độ của điểm B là \(B\left( { - \frac{3}{m};\;0} \right)\).

• Vì C là giao điểm của d₂ và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên:

\( - \frac{x}{m} + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3m\).

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0).

Hệ số góc của d₁ là m và hệ số góc của d₂ là \( - \frac{1}{m}\) có \(m.\left( { - \frac{1}{m}} \right) = - 1\) nên hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau tại A.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là \(\frac{1}{2}AB.AC\).

Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( { - \frac{3}{m}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + 1} = 3\sqrt {\frac{{1 + {m^2}}}{{{m^2}}}} \);

\[AC = \sqrt {{{\left( {3m} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {{m^2} + 1} \]

\( \Rightarrow \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt {\frac{{1 + {m^2}}}{{{m^2}}}} \cdot 3\sqrt {{m^2} + 1} = \frac{{9\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{2\left| m \right|}} = \frac{9}{2}\left( {\left| m \right| + \frac{1}{{\left| m \right|}}} \right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương \(\left| m \right|\) và \(\frac{1}{{\left| m \right|}}\) ta có:

\(\frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2}\left( {\left| m \right| + \frac{1}{{\left| m \right|}}} \right) \ge \frac{9}{2} \cdot 2\sqrt {\left| m \right| \cdot \frac{1}{{\left| m \right|}}} = 9\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left| m \right| = \frac{1}{{\left| m \right|}}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\)

Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Qua O vẽ đường thẳng a cắt AD, BC lần lượt tại E, F. Qua O vẽ đường thẳng b cắt AB và CD lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Do ABCD là hình bình hành nên ta có:

+) \(AB\;{\rm{//}}\;{\rm{CD}} \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (Hai góc ở vị trí so le trong).

\( \Rightarrow \widehat {KBO} = \widehat {HDO}\).

+) \(AD\;{\rm{//}}\;B{\rm{C}} \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {ACB}\) (Hai góc ở vị trí so le trong).

\( \Rightarrow \widehat {EAO} = \widehat {FCO}\).

Xét ∆KOB và ∆HOD có:

\(\widehat {KBO} = \widehat {HDO}\) (cmt)

OB = OD (gt)

\(\widehat {KOB} = \widehat {HOD}\) (Hai góc đối đỉnh)

Þ ∆KOB = ∆HOD (g.c.g)

Þ OK = OH (Hai cạnh tương ứng bằng nhau) (1)

Xét ∆EOA và ∆FOC có:

\(\widehat {EAO} = \widehat {FCO}\) (cmt)

OA = OC (gt)

\(\widehat {EOA} = \widehat {FOC}\) (Hai góc đối đỉnh)

Þ ∆EOA = ∆FOC (g.c.g)

Þ OE = OF (Hai cạnh tương ứng bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác EKFH có hai cặp cạnh đối thỏa mãn OK = OH và OE = OF.

Suy ra EKFH là hình bình hành.

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABN) và (SCD).
b) Chứng minh đường thẳng BN song song với mặt phẳng (SDM).
c) Xác định các điểm I, J lần lượt là giao điểm của đường thẳng AN và đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD).
d) Tính tỉ số \(\frac{{IB}}{{IJ}}\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) N là điểm chung của (ABN) và (SCD).

Mà AB // CD Þ (ABN) ∩ (SCD) = Nx // CD // AB.

b) Gọi E là trung điểm của CD

\( \Rightarrow DE = MB = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB\).

Xét tam giác CSD có \(\frac{{EC}}{{CD}} = \frac{{CN}}{{SC}} = \frac{1}{2}\).

Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy ra: EN // SD (1)

Ta thấy BM // DE và BM = DE suy ra DMBE là hình bình hành.

Þ BE // DM (2)

Từ (1) và (2) Þ (BNE) // (SDM)

Þ BN // (SDM)

c) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD.

Ta có O Î (SBD) Þ SO Ì (SBD)

Þ I = SO Ç AN là điểm cần tìm.

Gọi K là giao điểm của MC và BD

Þ K Î (SBD) Þ SK Ì (SBD)

Þ J = SK Ç MN là điểm cần tìm.

d) Xét tam giác SAC có I là giao điểm của hai đường trung tuyến là SO và AN nên I là trọng tâm của tam giác SAC

\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{AN}} = \frac{2}{3}\)

Do MB // CD nên theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{MB}}{{CD}} = \frac{{MK}}{{KC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{MK}}{{MC}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác MSC có:

\(\frac{{MC}}{{MK}} + \frac{{MS}}{{MS}} = 2\frac{{MN}}{{MJ}}\)

\( \Rightarrow 3 + 1 = 2 \cdot \frac{{MN}}{{MJ}} \Rightarrow \frac{{MJ}}{{MN}} = \frac{1}{2}\)

Xét tam giác BNA có:

\(\frac{{BN}}{{BN}} + \frac{{BA}}{{BM}} = 2\frac{{BI}}{{BJ}}\)

\( \Rightarrow 1 + 2 = 2 \cdot \frac{{BI}}{{BJ}} \Rightarrow \frac{{IB}}{{BJ}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{IB}}{{IJ}} = 3\).

Câu 3