Cho hai biểu thức

\(A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}\), với x ≥ 0; x ≠ 1.

a) Tính A khi x = 25

b) Rút gọn biểu thức B

c) Đặt P = A.B. Tìm giá trị nguyên của x để P < 1

Lời giải

a) \[x = 25 \Rightarrow A = \frac{{2\sqrt {25} - 1}}{{\sqrt {25} - 1}} = \frac{{2.5 - 1}}{{5 - 1}} = \frac{9}{4}\].

b) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 1}} + \frac{{3\sqrt x - 3}}{{x - 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x + 3\sqrt x - 3 - 6\sqrt x + 4}}{{x - 1}} = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\).

c) \(P = A.B = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}} \cdot \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\), với x ≥ 0; x ≠ 1.

Để \(P < 1 \Rightarrow \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} < 1\)

Do \(\sqrt x + 1 > 0\)

\( \Rightarrow 2\sqrt x - 1 < \sqrt x + 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x < 2\)

Þ 0 < x < 4.

Kết hợp ĐKXĐ Þ x Î (0; 4) \ {1}.