Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax là tia tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB), từ điểm C trên nửa đường tròn (C khác A, B) vẽ tiếp tuyến CM cắt Ax tại M, hạ CH vuông góc với AB, MB cắt (O) tại Q và cắt CH tại N.

a) Chứng minh MA² = MQ.MB
b) MO cắt AC tại I. Chứng minh tứ giác AIQM nội tiếp.
c) Chứng minh: IN ^ CH.

Lời giải

a) ∆AQB nội tiếp đường tròn (O)

\( \Rightarrow \widehat {AQB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Þ AQ ^ BM.

Tam giác ABM vuông tại A có AQ ^ BM, ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông suy ra: MA² = MQ.MB (đpcm).

b) ∆ACB nội tiếp đường tròn (O)

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 90^\circ \) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Þ AC ^ BC (1)

Ta có: OA = OC (Bán kính của đường tròn tâm O)

Và MA = MC (Hai tiếp tuyến MA, MC cắt nhau tại M)

Þ MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC

Þ MO ^ AC (2)

Từ (1) và (2) Þ BC // OM (Cùng vuông góc với AC)

\( \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {MBC}\) (Hai góc ở vị trí so le trong)

Hay \(\widehat {IMQ} = \widehat {MBC}\) (3)

Mặt khác: \(\widehat {QAI} = \widehat {MBC}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung QC) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {IMQ} = \widehat {QAI}\;\left( { = \widehat {MBC}} \right)\)

Do M và A cùng nhìn QI cố định dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác AIQM nội tiếp.

c) Do tứ giác AIQM nội tiếp nên suy ra:

\(\widehat {AMI} = \widehat {AQI}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung AI) (5)

Ta có: \(\widehat {IQN} = \widehat {AQB} - \widehat {AQI} = 90^\circ - \widehat {AQI}\) (6)

Xét tam giác AIM vuông tại I có \(\widehat {AMI} + \widehat {MAI} = 90^\circ \)

Và \(\widehat {MAI} + \widehat {IAO} = \widehat {MAO} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {AMI} = \widehat {IAO}\) (Hai góc cùng phụ với \(\widehat {MAI}\)) (7)

Xét tam giác CAH vuông tại H có:

\(\widehat {CAH} + \widehat {ACH} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ACH} = 90^\circ - \widehat {CAH}\)

Hay \(\widehat {ICN} = 90^\circ - \widehat {IAO}\) (8)

Từ (5), (6), (7) và (8) \( \Rightarrow \widehat {IQN} = \widehat {ICN}\)

Do Q và C cùng nhìn IN cố định dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác IQCN nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {CIN} = \widehat {CQN}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung CN) (*)

Mà \(\widehat {CAB} = \widehat {CQB}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung CB) (**)

Từ (*) và (**) nên suy ra \(\widehat {CIN} = \widehat {CAH}\)

Þ IN // AH (Có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)