Câu hỏi:
12/07/2024 2,375Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) CM: CD = AC + BD.
b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. CM: AF.BC = KE.EB.
c) EF cắt CB tại I. CM tam giác AFC đồng dạng với tam giác BFD, suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.
d) EA cắt CF tại M. EB cắt DF tại N. CM: M, I, N thẳng hàng.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
• Ax và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C Þ CA = CE;
• By và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D Þ DB = DE.
Suy ra: AC + BD = CE + DE = CD (đpcm)
b) ΔAEB nội tiếp đường tròn đường kính AB
Þ ΔAEB vuông tại E mà EF là đường cao
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: AF.AB = AE2 (1)
ΔBAK vuông tại A có AE là đường cao
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: KE.EB = AE2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AF.AB = KE.EB (đpcm)
c) Ax // By (cùng ^ AB), theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{AF}}{{FB}}\).
Mà CE = CA và ED = BD
Þ \(\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{{CA}}{{BD}}\)
Lại có \(\widehat {CAF} = \widehat {FBD} = 90^\circ \)
Do đó ΔAFC ᔕ ΔBFD (c.g.c) (đpcm)
d) Ta có: CA = CE; OA = OE Þ OC là đường trung trực của AE
Mà AE ^ EB Þ OC // EB hay OC // BK
Lại có O là trung điểm của BC
Þ C là trung điểm của AK Þ AC = CK
EF // AK Þ \(\frac{{IE}}{{CK}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{IF}}{{AC}}\)
Mà AC = CK Þ IE = IF
Gọi P = IM Ç Ax; Q = IN Ç By
Ta có: CP // IF Þ \(\frac{{CP}}{{IF}} = \frac{{MP}}{{MI}}\)
PA // IE Þ \(\frac{{MP}}{{MI}} = \frac{{AP}}{{IE}}\)
Mà IE = IF Þ CP = MP Þ P là trung điểm của AC.
Chứng minh tương tự ta có Q là trung điểm của BD.
IE // BD Þ \(\frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CA}}{{BD}} = \frac{{2CP}}{{2QB}} = \frac{{CP}}{{QB}}\)
và \(\widehat {PCI} = \widehat {QBI}\)
Þ ΔPCI ᔕ ΔQBI (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {QIB} + \widehat {PIB} = \widehat {PIC} + \widehat {PIB} = 180^\circ \)
Þ P, I, Q thẳng hàng Þ M, I, N thẳng hàng (đpcm)
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Chứng minh OM // CB.
c) Vẽ BK vuông góc với AC tại K. Chứng minh: CK.OM = OB.CB.
d) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AB tại D. Chứng minh OD ^ CM.
Câu 5:
Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D)
a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
b) Chứng minh MA2 = MC.MD
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD luôn đi qua điểm cố định khác O
Câu 6:
Cho đường tròn tâm O và BC là dây cung không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho M không trùng với B. Đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (O) đã cho tại N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O nằm trong PMC. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ NP. Các dây AB và AC lần lượt cắt NP tại D và E.
a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.
b) Chứng minh MB.MC = MN.MP.
Câu 7:
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax là tia tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB), từ điểm C trên nửa đường tròn (C khác A, B) vẽ tiếp tuyến CM cắt Ax tại M, hạ CH vuông góc với AB, MB cắt (O) tại Q và cắt CH tại N.
a) Chứng minh MA2 = MQ.MB
b) MO cắt AC tại I. Chứng minh tứ giác AIQM nội tiếp.
c) Chứng minh: IN ^ CH.
về câu hỏi!