Cho đường tròn (O), đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Từ M trên đường tròn (M khác A,B) vẽ tiếp tuyến thứ ba nó cắt Ax ở C cắt By ở D. Gọi N là giao điểm của BC và AD.

a) CMR: \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\).

b) CM: MN ^ AB.

c) CMR: \(\widehat {COD} = 90^\circ \).

Lời giải

a) Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Þ Ax ^ AB Þ AC ^ AB (1)

By là tiếp ruyến của đường tròn (O)

Þ By ^ AB Þ BD ^ AB (2)

Từ (1) và (2) Þ AC // BD

Áp dụng định lý Ta-lét với AC // BD ta có:

\[\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CN}}{{NB}} \Rightarrow \frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\] (đpcm)

b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

• Ax và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C Þ CA = CM;

• By và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D Þ DB = DM.

Ta có: \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CM}} = \frac{{NB}}{{MD}} \Rightarrow \frac{{CN}}{{NB}} = \frac{{CM}}{{MD}} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{CM}}{{CD}}\).

Vậy MN // BD (Theo định lí Ta-lét).

Mà BD ^ AB Þ MN ^ AB.

c) Ta có: CA = CM (cmt) và OA = OM = R

Þ OC là đường trung trực của đoạn thẳng MA

Þ OC cũng là đường phân giác của ∆OMA

\[ \Rightarrow \widehat {MOC} = \widehat {AOC} = \frac{1}{2}\widehat {MOA}\] (3)

Lại có: DB = DM (cmt) và OB = OM = R

Þ OD là đường trung trực của đoạn thẳng MB

Þ OD cũng là đường phân giác của ∆OMB

\[ \Rightarrow \widehat {MOD} = \widehat {BOD} = \frac{1}{2}\widehat {MOB}\] (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra

\[\widehat {MOC} + \widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {MOA} + \frac{1}{2}\widehat {MOB}\]

\( = \frac{1}{2}\left( {\widehat {MOA} + \widehat {MOB}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {COD} = 90^\circ \) (đpcm).