Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D)

a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp

b) Chứng minh MA² = MC.MD

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD luôn đi qua điểm cố định khác O

Lời giải

a) Xét tứ giác AOBM với \(\widehat {MAO}\) và \(\widehat {MBO}\) có:

\(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Do đó AOBM là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Xét ∆MCA và ∆MAD có:

\(\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung AC)

\(\widehat M\) là góc chung

Þ ∆MCA ᔕ ∆MAD (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{MA}}{{MD}} \Rightarrow M{A^2} = MC.MD\)

c) Lấy H là giao điểm của MO và AB.

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MAO vuông tại A có AH là đường cao nên suy ra MA² = MH.MO.

Mà MA² = MC.MD (cmt)

Þ MH.MO = MC.MD

\(\frac{{MH}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MO}}\)

Xét ∆MHD và ∆MCO có:

\(\frac{{MH}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MO}}\) (cmt)

\(\widehat M\): góc chung

Þ ∆MHD ᔕ ∆MCO (g.g)

\( \Rightarrow \widehat {MDH} = \widehat {MOC} \Rightarrow \widehat {CDH} = \widehat {HOC}\)

Þ Tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn (Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại với hai góc bằng nhau).

Þ H thuộc đường tròn (I).

Vậy (I) đi qua điểm cố định H là giao của MO và AB; với A, B là hai tiếp điểm từ điểm M cố định đến đường tròn (O).