Câu hỏi:
11/07/2024 2,552
Trên đường tròn (O; R) vẽ dây cung BC cố định. Một điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Hai đường cao AE và BF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác EFC.
c) Đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh H và I đối xứng nhau qua BC.
d) Gọi K là hình chiếu của O trên BC. Chứng minh tỉ số \[\frac{{AH}}{{OK}}\] không đổi và H chạy trên một cung tròn cố định khi A chuyển động trên cung lớn BC.
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác EFC.
c) Đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh H và I đối xứng nhau qua BC.
d) Gọi K là hình chiếu của O trên BC. Chứng minh tỉ số \[\frac{{AH}}{{OK}}\] không đổi và H chạy trên một cung tròn cố định khi A chuyển động trên cung lớn BC.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Tứ giác ABEF có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cung BA với hai góc bằng nhau:
\(\widehat {BEA} = \widehat {AFB} = 90^\circ \).
Do đó tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
b) Tứ giác EBAF nội tiếp đường tròn.
\( \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {BFE}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE).
Lại có: \(\widehat {BAE} = 90^\circ - \widehat {EBA}\)
Và \(\widehat {BFE} = 90^\circ - \widehat {EFC}\)
\( \Rightarrow \widehat {EFC} = \widehat {EBA} \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {CFE}\)
Xét ∆ABC và ∆EFC có:
\(\widehat {CBA} = \widehat {CFE}\) (cmt)
\(\widehat C\): góc chung
Þ ∆ABC ᔕ ∆EFC (g.g)
c) Ta có: \(\widehat {IBC} = \widehat {IAC}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC)
Lại có: \(\widehat {EBF} = \widehat {EAF}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF)
Þ \(\widehat {IBE} = \widehat {HBE}\)
Þ BE là đường phân giác của góc \(\widehat {IBH}\).
Mà BE cũng là đường cao của ∆IBH nên ∆IBH là tam giác cân tại B có BE là đường trung trực của cạnh HI.
Vậy H và I đối xứng với nhau qua BC.
d) D, E lần lượt là giao của AO và AI với BC.
Do OK // EI nên theo định lí Ta-lét ta có:
\(\frac{{EI}}{{OK}} = \frac{{EG}}{{GK}} \Rightarrow \frac{{EH}}{{OK}} = \frac{{EG}}{{GK}}\).
Và \(\widehat {EIG} = \widehat {GOK}\) (Hai góc ở vị trí so le trong) (1)
Do OK // EA nên theo định lí Ta-lét ta có:
\(\frac{{OK}}{{AE}} = \frac{{DK}}{{DE}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{OK}} = \frac{{DE}}{{DK}}\).
Và \(\widehat {DOK} = \widehat {DAE}\) (Hai góc ở vị trí đồng vị) (2)
Ta có:
\(\frac{{AH}}{{OK}} = \frac{{AE}}{{OK}} - \frac{{EH}}{{OK}} = \frac{{ED}}{{DK}} - \frac{{EG}}{{GK}}\) (*)
Tam giác OIA cân tại O do có OI = OA (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {GOK} = \widehat {DOK}\).
Þ OK là đường phân giác của tam giác DOG mà OK cũng là đường cao nên OK là đường trung trực của tam giác DOG cân tại O
Þ GK = DK
Khi đó (*) trở thành: \(\frac{{AH}}{{OK}} = \frac{{ED}}{{DK}} - \frac{{EG}}{{GK}} = \frac{{ED}}{{GK}} - \frac{{EG}}{{GK}} = \frac{{GD}}{{GK}} = 2\).
Vậy tỉ số \[\frac{{AH}}{{OK}}\] không đổi.
Do BC cố định nên ta luôn xây dựng được một đường tròn (J) là đường tròn ngoại tiếp của tam giác HBC. Vậy nên H luôn chuyển động trên một cung cố định.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Qua O vẽ đường thẳng a cắt AD, BC lần lượt tại E, F. Qua O vẽ đường thẳng b cắt AB và CD lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành.
Xem đáp án »
12/07/2024
41,767
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABN) và (SCD).
b) Chứng minh đường thẳng BN song song với mặt phẳng (SDM).
c) Xác định các điểm I, J lần lượt là giao điểm của đường thẳng AN và đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD).
d) Tính tỉ số \(\frac{{IB}}{{IJ}}\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABN) và (SCD).
b) Chứng minh đường thẳng BN song song với mặt phẳng (SDM).
c) Xác định các điểm I, J lần lượt là giao điểm của đường thẳng AN và đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD).
d) Tính tỉ số \(\frac{{IB}}{{IJ}}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
34,209
Câu 3:
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Chứng minh OM // CB.
c) Vẽ BK vuông góc với AC tại K. Chứng minh: CK.OM = OB.CB.
d) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AB tại D. Chứng minh OD ^ CM.
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Chứng minh OM // CB.
c) Vẽ BK vuông góc với AC tại K. Chứng minh: CK.OM = OB.CB.
d) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AB tại D. Chứng minh OD ^ CM.
Xem đáp án »
11/07/2024
7,744
Câu 5:
Cho hàm số có đồ thị (C) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) và đường thẳng d: y = x + m. Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B. Với C(−2; 5), giá trị của tham số m để tam giác ABC đều là bao nhiêu?
Xem đáp án »
11/07/2024
6,184
Câu 6:
Cho tam giác ABC có A(−5; 6), B(−4; −1), C(4; 3). Tìm tọa độ trung điểm I của AC. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Xem đáp án »
28/03/2023
5,433
Câu 7:
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB; Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn lấy điểm D (D khác A, B). Tiếp tuyến tại D của (O) cắt Ax ở S.
a) Chứng minh SO // BD.
b) BD cắt AS ở C. Chứng minh SA = SC.
c) Kẻ DH vuông góc với AB; DH cắt BS tại E. Chứng minh E là trung điểm của DH.
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB; Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn lấy điểm D (D khác A, B). Tiếp tuyến tại D của (O) cắt Ax ở S.
a) Chứng minh SO // BD.
b) BD cắt AS ở C. Chứng minh SA = SC.
c) Kẻ DH vuông góc với AB; DH cắt BS tại E. Chứng minh E là trung điểm của DH.
Xem đáp án »
12/07/2024
5,189
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
206 câu Bài tập Nguyên hàm, tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
-
175 câu Bài tập Số phức cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
về câu hỏi!