Cho đường tròn tâm O và BC là dây cung không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho M không trùng với B. Đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (O) đã cho tại N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O nằm trong PMC. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ NP. Các dây AB và AC lần lượt cắt NP tại D và E.

a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.
b) Chứng minh MB.MC = MN.MP.

Lời giải

a) Gọi I là giao điểm của OA và NP

Ta có độ dài cung AN bằng độ dài cung AP nên suy ra AN = AP

Và ON = OP = R.

Þ OA là đường trung trực của đoạn thẳng NP

Þ OA ^ NP tại I

Þ \(\widehat {AID} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ADI} = 90^\circ - \widehat {IAD}\)

Hay \(\widehat {ADP} = 90^\circ - \widehat {OAB}\)

Lại có: OA = OB Þ ∆OAB cân tại O.

\( \Rightarrow \widehat {OAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOB}}}{2} = 90^\circ - \frac{{\widehat {AOB}}}{2}\)

Suy ra \(\widehat {ADP} = 90^\circ - \left( {90^\circ - \frac{{\widehat {AOB}}}{2}} \right) = \frac{{\widehat {AOB}}}{2}\).

Mà \(\widehat {MDB} = \widehat {ADP}\) (Hai góc đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {MDB} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2}\).

Đường tròn (O) có: \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB và \(\widehat {AOB}\) là góc ở tâm chắn cung AB nên suy ra:

\(\widehat {ACB} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {MDB}\)

Hay \(\widehat {ECB} = \widehat {MDB}\).

Tứ giác BNDC có \[\widehat {ECB} + \widehat {EDB} = \widehat {MDB} + \widehat {EDB} = \widehat {MDE} = 180^\circ \].

Suy ra BNDC là tứ giác nội tiếp.

b) BNPC là tứ giác nội tiếp nên suy ra \(\widehat {NPC} + \widehat {NBC} = 180^\circ \).

Lại có \(\widehat {MBN} + \widehat {NBC} = \widehat {MBC} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {MBN} = \widehat {MPC}\)

Xét ∆MBN và ∆MPC có:

\(\widehat {MBN} = \widehat {MPC}\) (cmt)

\(\widehat M\): góc chung

Þ ∆MBN ᔕ ∆MPC (g.g).

\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MP}} = \frac{{MN}}{{MC}} \Rightarrow MB.MC = MN.MP\).