Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}6{x^2} - 3xy + x = 1 - y\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right.\)

Lời giải

Ta có:

6x² − 3xy + x = 1 − y

Û 6x² − 3xy + x + y − 1 = 0

Û (6x² − 2x) − (3xy − y) + (3x − 1) = 0

Û (6x² − 2x) − (3xy − y) + (3x − 1) = 0

Û 2x(3x − 1) − y(3x − 1) + (3x − 1) = 0

Û (2x − y + 1)(3x − 1) = 0

+ TH1: 2x − y + 1 = 0

Û y = 2x + 1 (1)

Thay (1) vào phương trình x² + y² = 1 ta được

x² + (2x + 1)² = 1

Û x² + 4x² + 4x + 1 = 1

Û 5x² + 4x = 0

Û x(5x + 4) = 0

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\5x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\)

• Với x = 0, thay vào (1) ta được y = 1.

• Với \(x = - \frac{4}{5}\), thay vào (1) ta được \(y = 2 \cdot \left( { - \frac{4}{5} + 1} \right) = - \frac{3}{5}\).

+ TH2: 3x − 1 = 0

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\) (2)

Thay (2) vào phương trình x² + y² = 1 ta được

\({\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {y^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{9} + {y^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {y^2} = \frac{8}{9}\)

\( \Rightarrow y = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {0;\;1} \right),\;\left( { - \frac{4}{5};\; - \frac{3}{5}} \right),\;\left( {\frac{1}{3},\; \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)} \right\}\).