Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp {1; 2; 3; ...; 100} gồm 100 số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để 3 số được chọn là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{100}^3\).

Ta tính số cáchchonj ba phần tử khác nhau của tập hợp A sao cho ba phần tủ nhày là độ dài ba cạnh một tam giác.

Giả sử ba số cần chọn là x < y < z. Khi đó ta phải có x > z − y.

Đặt k = z − y; 1 £ k £ 49.

Với k = 1, ta có x Î {2; 3; …; 98}. Ta xét từng trường hợp như sau:

+ x = 2 các bộ số (y; z) lượt là (3; 4), (4; 5), …, (99; 100) có 97 bộ.

+ x = 3 các bộ số (y; z) lượt là (4; 5), (5; 6), …, (99; 100) có 96 bộ.

…

+ x = 8 chỉ có 1 bộ số (y; z) = (99; 100) thỏa mãn.

Do đó số bộ ba trong trường hợp này là \(1 + 2 + ... + 97 = \frac{{97.98}}{2} = 97.49\).

Với k = 2, ta có x Î {3; 4; …; 97}. Ta xét từng trường hợp như sau:

+ x = 3 các bộ số (y; z) lượt là (4; 6), (5; 7), …, (98; 100) có 95 bộ.

…

+ x = 97 chỉ có 1 bộ số (y; z) = (98; 100) thỏa mãn.

Như vậy trường hợp này số bộ ba là \(1 + 2 + ... + 95 = \frac{{95.96}}{2} = 95.48\).

Lập luận tương tự đến trường hợp k = 49 thì x = 50 và chỉ có một bộ số (y; z) thỏa mãn là (51; 100).

Vậy số cách chọn bộ ba số thỏa mãn yêu cầu là \(n = \sum\limits_{k = 1}^{49} {\left( {2k - 1} \right)} = 79625\)

Xác suất của biến cố cần tìm là \[P = \frac{n}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{79625}}{{C_{100}^3}} = \frac{{65}}{{132}}\].