Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\;\left( C \right)\). Tìm m để (C) cắt d: y = x + m tại hai điểm phân biệt a,b sao cho tam giác OAB vuông tại A hoặc B.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x + m - \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + x\left( {m - 3} \right) + \left( {1 - m} \right) = 0\;(1)\)

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau ở hai điểm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt

Û ∆ = (m − 3)² − 4(1 − m) > 0

Û (m − 1)² + 4 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Khi đó x₁, x₂ là hai nghiệm của phương tình trên thì A(x₁; x₁ + m) và B(x₂; x₂ + m) là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

Không mất tính tổng quát, giả sử tam giác OAB vuông tại A.

\[ \Rightarrow \overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AB} = 0\]

Þ x₁(x2 − x₁) + (x₂ − x₁)(x₁ + m) = 0

\( \Rightarrow 2{x_1} + m = 0 \Rightarrow {x_1} = \frac{{ - m}}{2}\)

Áp dụng định lí Vi-ét:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - m\\{x_1}{x_2} = 1 - m\end{array} \right. \Rightarrow {x_2} = 3 - m - {x_1} = \frac{{1 - m}}{{{x_1}}}\)

\( \Leftrightarrow 3 - \frac{m}{2} = \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m} \Rightarrow m = 1 \pm \sqrt 5 \) (thỏa mãn)

Vậy \(m = 1 \pm \sqrt 5 \)