Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Lời giải

Trong ∆ABC kẻ CH ^ AB

Mà SA ^ CH (SA ^ (SAB))

Þ CH ^ (SAB) Þ CH ^ SB (1)

\(BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = a\sqrt 3 \)

\(BH.BA = B{C^2} \Rightarrow BH = \frac{{3a}}{2}\)

\(CH = \sqrt {B{C^2} - B{H^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

Trong ∆SAB kẻ HK ^ SB (2)

Từ (1) và (2) Þ SB ^ (HKC)

Þ SB ^ KC

Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là \(\widehat {CKH} = 60^\circ \)

Trong tam giác vuông CKH có:

\(HK = CH.\cot 60^\circ = \frac{1}{2}a\)

\(BK = \sqrt {B{H^2} - H{K^2}} = a\sqrt 2 \)

Xét ∆SAB và ∆HKB có:

\(\widehat {SAB} = \widehat {HKB} = 90^\circ \)

\(\widehat B\): góc chung

Þ ∆SAB ᔕ ∆HKB (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{SA}}{{HK}} = \frac{{AB}}{{BK}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} \Rightarrow SA = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Thể tích của khối chóp S.ABC là:

\(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 3 \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Tam giác HKA vuông tại H (vì AH ^ (SBC), HK Ì (SBC))

\(\sin \widehat {HKA} = \frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 7 }} \Rightarrow \cos \widehat {HKA} = \frac{{\sqrt 7 }}{7}\).