Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, tam giác ABC vuông ở C có AB = 2a, \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC).

Lời giải

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ HI // SA thì HI ^ (ABC).

Ta có: \(CA = AB.\cos 30^\circ = a\sqrt 3 \).

Do đó: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin 30^\circ = \frac{1}{2}.2a.a\sqrt 3 .\sin 30^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\frac{{HI}}{{SA}} = \frac{{HC}}{{SC}} = \frac{{HC.SC}}{{S{C^2}}} = \frac{{A{C^2}}}{{S{C^2}}}\)

\( = \frac{{A{C^2}}}{{S{A^2} + A{C^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{4{a^2} + 3{a^2}}} = \frac{3}{7}\).

\( \Rightarrow HI = \frac{6}{7}a\)

Vậy \({V_{H.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.HI = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\frac{6}{7}a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{7}\)

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Ta có:

AH ^ SC, AH ^ CB (Do CB ^ (SAC)).

Þ AH ^ (SBC) Þ AH ^ SB

Lại có: SB ^ AK Þ SB ^ (AHK).

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC) là \(\widehat {HKA}\).

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{12{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\);

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AK = a\sqrt 2 \).