Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

B. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

C. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

D. Hình chữ nhật có một góc vuông là hình vuông.

a)

• Do DABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ và AB = AC.

Vì AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của BC.

Vì H là trung điểm của BC nên H nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó AH là đường trung trực của BC nên AH ⊥ BC.

• Xét DAHB vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên bằng nửa cạnh huyền AB.

Do đó $HD=DB=DA=\frac{1}{2}AB$.

• Tam giác DBH có DB = DH nên là tam giác cân tại D

Suy ra $\widehat{DBH}=\widehat{DHB}$ hay $\widehat{ABC}=\widehat{DHB}$.

Lại có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{DHB}=\widehat{ACB}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DH // AC.

• Xét tứ giác ADHC có DH // AC nên là hình thang.

a) • Ta có: AE = EF = FC nên $AE=EF=FC=\frac{1}{3}AC$   (1)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Suy ra $AO=CO=\frac{1}{2}AC$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{CF}{CO}=\frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{1}{2}AC}=\frac{2}{3}$ hay $CF=\frac{2}{3}CO$.

• Xét DBCD có CO là trung tuyến của tam giác và $CF=\frac{2}{3}CO$ nên F là trọng tâm của DBCD.

Do đó BF hay BM cũng là đường trung tuyến của DBCD.

Suy ra M là trung điểm của CD.

• Chứng minh tương tự đối với DABD ta có E là trọng tâm của tam giác.

Do đó DE hay DN cũng là đường trung tuyến của DABD.