Giải SBT Toán 8 CTST Bài 2. Tứ giác có đáp án

a) Tứ giác ABCD luôn nằm trong cùng một phần mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác nên ABCD là tứ giác lồi.

b) Đường thẳng đi qua cạnh của tứ giác MNPQ chia tứ giác thành hai phần nên MNPQ không phải là tứ giác lồi.

a) Ta có:

AB = AD (giả thiết), suy ra A thuộc đường trung trực của BD;

CB = CD (giả thiết), suy ra C thuộc đường trung trực của BD.

Vậy AC là đường trung trực của BD.

b) Xét ∆ABC và ∆ADC, ta có:

AB = AD (giả thiết); BC = DC (giả thiết); AC là cạnh chung.

Suy ra ∆ABC = ∆ADC (c.c.c).

Do đó $\widehat{B}=\widehat{D}$ (hai góc tương ứng)

Xét tứ giác ABCD, ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°.$

Hay $115°+\widehat{B}+65°+\widehat{D}=360°$ 

Do đó $\widehat{B}+\widehat{D}=360°-115°-65°=180°.$

Mà $\widehat{B}=\widehat{D}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{B}=\widehat{D}=\frac{180°}{2}=90°.$

Áp dụng định lí Pythagore vào bốn tam giác AIB, BIC, CID, DIA vuông tại I, ta có:

AB² = IA² + IB²

BC² = IB² + IC²

CD² = IC² + ID²

AD² = IA² + ID²

Nên AB² + CD² = IA² + IB² + IC² + ID²

Hay AB² + CD² = (IB² + IC²) + (IA² + ID²)

AB² + CD² = BC² + AD²

AB² + 24² = 15² + 20²

AB² = 225 + 400 – 576 = 49

Suy ra $AB=\sqrt{49}=7$ (cm).

Vẽ tứ giác ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

IA + IB > AB (trong tam giác IAB)

IB + IC > BC (trong tam giác IBC)

IC + ID > CD (trong tam giác ICD)

IA + ID > AD (trong tam giác IAD)

Suy ra 2(IA + IB + IC + ID) > AB + BC + CD + DA

Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA

Vậy $AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}$ hay tổng độ dài hai đường chéo của một tứ giác lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó.