Cho hàm số \(y = \frac{{\ln x - 4}}{{\ln x - 2m}}\) với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; e). Tìm số phần tử của S.

Lời giải

Đáp án đúng là C.

Ta có \(y = f\left( x \right) = \frac{{\ln x - 4}}{{\ln x - 2m}}\).

Đặt t = ln x, điều kiện t ∈ (0; 1).

Khi đó \(g\left( t \right) = \frac{{t - 4}}{{t - 2m}};\,\,g'\left( t \right) = \frac{{ - 2m + 4}}{{{{\left( {t - 2m} \right)}^2}}}\).

Để hàm số f(x) đồng biến trên (1; e) thì hàm số g(t) đồng biến trên (0; 1)

\( \Leftrightarrow \)g’(t) > 0, t ∈ (0; 1) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 2m + 4}}{{{{\left( {t - 2m} \right)}^2}}} > 0\), t ∈ (0;1)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 4 > 0\\2m \notin (0;1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2} \le m < 2\\m \le 0\end{array} \right.\).

Mà S là tập hợp các số nguyên dương nên suy ra S = {1}.

Vậy số phần tử của tập S là 1.