Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Tính sin của góc tạo bởi giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SHK).

Lời giải

Đáp án đúng là: B.

Theo đề bài ∆SAB đều nên SH ⊥ AB suy ra SH ⊥ (ABCD).

Gọi I = AC ∩ HK.

Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Mà HK // BD (H là đường trung bình của \(\Delta ABD\) nên AC ⊥ HK.

Do đó AI ⊥ BD.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot HK\\AI \bot SH(SH \bot (ABCD))\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AI \bot (SHK)\).

Suy ra SI là hình chiếu của SA lên (SHK).

Gọi = AC ∩ BD, áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{AI}}{{OA}} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AI = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Xét ∆SIA vuông tại I ta có: \(\widehat {ISA} = \frac{{AI}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy \[\sin \widehat {\left( {SA;\,\,\left( {SHK} \right)} \right)} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\].