Câu hỏi:

01/04/2023 103

Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh $A = 8\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{{ab}} \ge 5$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có: a + b = 1 ⇔ a² + b² + 2ab = 1.

Mà a² + b² – 2ab ≥ 0 nên ${a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}$

$\Rightarrow {a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} \ge \frac{1}{4}$

Mà a⁴ – 2a²b² + b⁴ ≥ 0

$\Rightarrow 2\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge \frac{1}{4}$

$\Rightarrow {a^4} + {b^4} \ge \frac{1}{8}$ (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $a + b \ge 2\sqrt {ab}$

$\Rightarrow ab \le \frac{{a + b}}{4} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{{ab}} \ge \frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 4$ (**)

Cộng vế với vế của (*) và (**) suy ra $A = 8\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{{ab}} \ge 1 + 4 = 5$ (đpcm).

Bình luận

Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số: y = ln(x² – 2mx + 4) có tập xác định là ℝ.

Xem đáp án » 12/07/2024 15,486

Câu 2:

Tính chu vi tam giác ABC biết AB = 6 và 2sinA = 3sinB = 4sinC.

A. 26;

B. 13;

C.

5 \sqrt{26}

$5\sqrt {26}$ ;

D.

10 \sqrt{6}

$10\sqrt 6$ .

Xem đáp án » 01/04/2023 10,764

Câu 3:

Cho hàm số $y = \frac{{\ln x - 6}}{{\ln x - 2m}}$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; e). Số phần tử của S là

A. 3;

B. 4;

C. 1;

D. 2.

Xem đáp án » 01/04/2023 6,845

Câu 4:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

A. Nếu tổng hai số a + b > 2 thì có ít nhất một số lớn hơn 1;

B. Trong một tam giác cân hai đường cao bằng nhau;

C. Nếu tứ giác là hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau;

D. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3;

Xem đáp án » 01/04/2023 5,300

Câu 5:

Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh:

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB}$ .

b) $\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 4,621

Câu 6:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị $\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|$ bằng bao nhiêu?

A.

$2a\sqrt 2$ ;

B. 2a;

C. a;

D. 0.

Xem đáp án » 01/04/2023 3,685

Câu 7:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 40 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m giảm chiều dài đi 2 m thì diện tích tăng thêm 4 m². Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,672

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh $A = 8\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{{ab}} \ge 5$ .

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số: y = ln(x² – 2mx + 4) có tập xác định là ℝ.

Tính chu vi tam giác ABC biết AB = 6 và 2sinA = 3sinB = 4sinC.

Cho hàm số $y = \frac{{\ln x - 6}}{{\ln x - 2m}}$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; e). Số phần tử của S là

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh:

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB}$ .

b) $\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD}$ .

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị $\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|$ bằng bao nhiêu?

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 40 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m giảm chiều dài đi 2 m thì diện tích tăng thêm 4 m². Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh A=8(a4+b4)+1ab≥5A=8(a4+b4)+1ab≥5A = 8\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{{ab}} \ge 5.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số: y = ln(x2 – 2mx + 4) có tập xác định là ℝ.

Tính chu vi tam giác ABC biết AB = 6 và 2sinA = 3sinB = 4sinC.

Cho hàm số y=lnx−6lnx−2my=lnx−6lnx−2my = \frac{{\ln x - 6}}{{\ln x - 2m}} với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; e). Số phần tử của S là

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị |→AC+→BD|∣∣∣−−→AC+−−→BD∣∣∣\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right| bằng bao nhiêu?

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 40 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m giảm chiều dài đi 2 m thì diện tích tăng thêm 4 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh $A = 8\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{{ab}} \ge 5$ .

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số: y = ln(x² – 2mx + 4) có tập xác định là ℝ.

Cho hàm số $y = \frac{{\ln x - 6}}{{\ln x - 2m}}$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; e). Số phần tử của S là

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị $\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|$ bằng bao nhiêu?

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 40 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m giảm chiều dài đi 2 m thì diện tích tăng thêm 4 m². Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật.