Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh \(A = 8\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{{ab}} \ge 5\).

Lời giải

Ta có: a + b = 1 ⇔ a² + b² + 2ab = 1.

Mà a² + b² – 2ab ≥ 0 nên \({a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow {a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} \ge \frac{1}{4}\)

Mà a⁴ – 2a²b² + b⁴ ≥ 0

\( \Rightarrow 2\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow {a^4} + {b^4} \ge \frac{1}{8}\)      (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

\( \Rightarrow ab \le \frac{{a + b}}{4} = \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{ab}} \ge \frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 4\)      (**)

Cộng vế với vế của (*) và (**) suy ra \(A = 8\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{{ab}} \ge 1 + 4 = 5\) (đpcm).