Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 với x, y, z khác 0 thì ( frac{a}{x} = frac{b}{y} = frac{c}{z} ).

Lời giải Ta có: (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 ⇔ a2x2 + a2y2 + a2z2 + b2y2 + b2z2 + c2x2 + c2y2 + c2z2 = a2x2 + b2y2 + c2z2 + 2axby + 2axcz + 2bycz ⇔ a2y2 + a2z2 + b2x2 + b2z2 + c2x2 + c2y2 – 2axby – 2axcz – 2bycz = 0 ⇔ (a2y2 – 2axby + b2x2) + (a2z2 – 2axcz + c2x2) + (b2z2 – 2bycz + c2y2) = 0 ⇔ (ay – by)2 + (az – cx)2 + (bz – cy)2 = 0 Vì (ay – bx)2 ≥ 0; (az – cx)2 ≥ 0; (bz – cy)2 ≥ 0 nên (ay – by)2 + (az – cx)2 + (bz – cy)2 ≥ 0 Vậy dấu “=” xảy ra khi: ( left { begin{array}{l}ay = bx az = cx bz = cy end{array} right. Rightarrow left { begin{array}{l} frac{a}{x} = frac{b}{y} frac{a}{x} = frac{c}{z} frac{b}{y} = frac{c}{z} end{array} right. ) ( Rightarrow frac{a}{x} = frac{b}{y} = frac{c}{z} ) (xyz ≠ 0). (đpcm)

Câu hỏi:

01/04/2023 1,609

Chứng minh rằng nếu (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² với x, y, z khác 0 thì \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có: (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)²

⇔ a²x² + a²y² + a²z² + b²y² + b²z² + c²x² + c²y² + c²z² = a²x² + b²y² + c²z² + 2axby + 2axcz + 2bycz

⇔ a²y² + a²z² + b²x² + b²z² + c²x²+ c²y² – 2axby – 2axcz – 2bycz = 0

⇔ (a²y² – 2axby + b²x²) + (a²z² – 2axcz + c²x²) + (b²z² – 2bycz + c²y²) = 0

⇔ (ay – by)² + (az – cx)² + (bz – cy)² = 0

Vì (ay – bx)² ≥ 0; (az – cx)² ≥ 0; (bz – cy)² ≥ 0 nên

(ay – by)² + (az – cx)² + (bz – cy)² ≥ 0

Vậy dấu “=” xảy ra khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}ay = bx\\az = cx\\bz = cy\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\\\frac{a}{x} = \frac{c}{z}\\\frac{b}{y} = \frac{c}{z}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\) (xyz ≠ 0). (đpcm)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Tính chu vi tam giác ABC biết AB = 6 và 2sinA = 3sinB = 4sinC.

A. 26;

B. 13;

C. \(5\sqrt {26} \);

D. \(10\sqrt 6 \).

Xem đáp án » 01/04/2023 10,439

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số: y = ln(x² – 2mx + 4) có tập xác định là ℝ.

Xem đáp án » 12/07/2024 7,165

Câu 3:

Cho hàm số \(y = \frac{{\ln x - 6}}{{\ln x - 2m}}\) với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; e). Số phần tử của S là

A. 3;

B. 4;

C. 1;

D. 2.

Xem đáp án » 01/04/2023 6,420

Câu 4:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

A. Nếu tổng hai số a + b > 2 thì có ít nhất một số lớn hơn 1;

B. Trong một tam giác cân hai đường cao bằng nhau;

C. Nếu tứ giác là hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau;

D. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3;

Xem đáp án » 01/04/2023 5,195

Câu 5:

Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh:

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} \).

b) \(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \).

Xem đáp án » 12/07/2024 4,523

Câu 6:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|\) bằng bao nhiêu?

A. \(2a\sqrt 2 \);

B. 2a;

C. a;

D. 0.

Xem đáp án » 01/04/2023 3,545

Câu 7:

Tìm ƯCLN và tập hợp ước chung của các số sau:

a) 10; 20; 70;

b) 5661; 5291; 4292.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,978

Xem thêm các câu hỏi khác »

Chứng minh rằng nếu (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² với x, y, z khác 0 thì \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\).

Nhà sách VIETJACK:

Tính chu vi tam giác ABC biết AB = 6 và 2sinA = 3sinB = 4sinC.

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số: y = ln(x² – 2mx + 4) có tập xác định là ℝ.

Cho hàm số \(y = \frac{{\ln x - 6}}{{\ln x - 2m}}\) với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; e). Số phần tử của S là

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|\) bằng bao nhiêu?

Tìm ƯCLN và tập hợp ước chung của các số sau:

a) 10; 20; 70;

b) 5661; 5291; 4292.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 với x, y, z khác 0 thì \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\).

Nhà sách VIETJACK:

Tính chu vi tam giác ABC biết AB = 6 và 2sinA = 3sinB = 4sinC.

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số: y = ln(x2 – 2mx + 4) có tập xác định là ℝ.

Cho hàm số \(y = \frac{{\ln x - 6}}{{\ln x - 2m}}\) với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; e). Số phần tử của S là

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|\) bằng bao nhiêu?

Tìm ƯCLN và tập hợp ước chung của các số sau: a) 10; 20; 70; b) 5661; 5291; 4292.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng nếu (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² với x, y, z khác 0 thì \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\).

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số: y = ln(x² – 2mx + 4) có tập xác định là ℝ.

Tìm ƯCLN và tập hợp ước chung của các số sau:

a) 10; 20; 70;

b) 5661; 5291; 4292.