Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SD = \(\frac{3}{2}a\). Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Tìm m để các hàm số sau có tập xác định là R (hay luôn xác định trên R):

a) y = f(x) = \(\frac{{3x + 1}}{{{x^2} + 2(m - 1)x + {m^2} + 3m + 5}}\)

b) y = f(x) = \(\sqrt {{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + m - 6} \)

c) y = f(x) = \(\frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 2(m + 3)x + m + 9}}\)

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} \)

Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), rồi suy ra cosA

b) Gọi G là trọng tâm của △ABC. Tính \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {BC} \)

c) Tính giá trị biểu thức S = \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA} \)

d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D ∈ BC). Tính \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} \) theo \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} \)suy ra AD.

Một thiết bị gồm có 3 bộ phận. Trong khoảng thời gian T, việc các bộ phận đó bị hỏng là độc lập với nhau và với các xác suất tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,3. Cả thiết bị sẽ bị hỏng nếu có ít nhất một bộ phận hư hỏng. Tìm xác suất thiết bị hoạt động tốt trong thời gian T đó.

Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5%. Tìm xác xuất để trong 12 sản phẩm do nhà máy đó sản xuất ra có

a) 2 phế phẩm

b) không quá 2 phế phẩm.

Tìm tập xác định của hàm số sau:

a) y = 3x² – 2x + 1

b) y = \(\frac{{3\left| x \right| + 2}}{{x - 2}}\)

c) y = \(\sqrt {x - 2} + \sqrt {3 - x} \)

d) y = \(\frac{{\frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }}}}{x}\)

e) y = \(\frac{{\sqrt {x + 3} }}{{2 - x}}\)

f) y = \(\frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{{x^2} - 3{\rm{x}} + 2}}\)

g) y = \(\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 1}} - 3x\)

Cho tứ giác ABCD có AB = AD; CB = CD (ta gọi tứ ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình ảnh cánh diều)

a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD

b) Tính góc B và góc D (biết \(\widehat A = 100^\circ ,\widehat C = 60^\circ \)).