Câu hỏi:
13/07/2024 1,058
Cho hình vuông ABCD, gọi O là tâm của hình vuông. Một đường thẳng qua O cắt AD tại P, cắt BC tại Q.
a) Chứng minh AP = CQ
b) Kẻ Px vuông góc AC tại E (E thuộc AC). Kẻ Qy vuông góc BD tại F (F thuộc BD), Px và Qy cắt nhau tại M. Chứng minh OEMF là hình chữ nhật.
c) Chứng minh M thuộc cạnh AB
d) Lấy K thuộc BC sao cho CK = DP. Chứng minh \(\widehat {MOK} = 90^\circ \).
Cho hình vuông ABCD, gọi O là tâm của hình vuông. Một đường thẳng qua O cắt AD tại P, cắt BC tại Q.
a) Chứng minh AP = CQ
b) Kẻ Px vuông góc AC tại E (E thuộc AC). Kẻ Qy vuông góc BD tại F (F thuộc BD), Px và Qy cắt nhau tại M. Chứng minh OEMF là hình chữ nhật.
c) Chứng minh M thuộc cạnh AB
d) Lấy K thuộc BC sao cho CK = DP. Chứng minh \(\widehat {MOK} = 90^\circ \).
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì ABCD là hình vuông tâm O
Nên OA = OB = OC = OD, AB = BC = CD = DA, AD // BC
Suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {ACB}\) (hai góc so le trong)
Xét tam giác AOP và tam gíc COQ có
\(\widehat {DAC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)
OA = OC (chứng minh trên)
\(\widehat {AOP} = \widehat {COQ}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó ΔAOP = ΔCOQ (g.c.g)
Suy ra AP = CQ (hai cạnh tương ứng)
b) Vì AB = AD nên tam giác ABD cân tại A
Mà AO là đường trung tuyến
Suy ra AO là đường cao
Hay AO ⊥ BD
Xét tứ giác OEMF có
\(\widehat {OEM} = \widehat {EOF} = \widehat {OFM} = 90^\circ \)
Suy ra OEMF là hình chữ nhật
c) Vì OEMF là hình chữ nhật
Nên \[\widehat {FME} = 90^\circ \]
Hay tam giác PMQ vuông tại M
Mà MO là trung tuyến
Suy ra OM = OP = OQ
Do đó tam giác POM cân tại O
Lại có OE là đường cao nên OE là phân giác của \(\widehat {POM}\)
Suy ra \(\widehat {POE} = \widehat {EOM}\)
Xét tam giác AOP và tam giác AOM có
AO là cạnh chung
\(\widehat {POE} = \widehat {EOM}\) (chứng minh trên)
OM = OP (chứng minh trên)
Suy ra △AOP = △AOM (c.g.c)
Do đó \(\widehat {AP{\rm{O}}} = \widehat {AM{\rm{O}}}\) (hai góc tương ứng)
Ta có OM = OQ
Do đó tam giác QOM cân tại O
Lại có OF là đường cao nên OF là phân giác của \(\widehat {QOM}\)
Suy ra \(\widehat {QOF} = \widehat {FOM}\)
Xét tam giác BOQ và tam giác BOM có
BO là cạnh chung
\(\widehat {QOF} = \widehat {FOM}\) (chứng minh trên)
OM = OQ (chứng minh trên)
Suy ra △ BOQ = △BOM (c.g.c)
Do đó \(\widehat {{\rm{BQO}}} = \widehat {BM{\rm{O}}}\) (hai góc tương ứng)
Vì AD // BC nên \(\widehat {AP{\rm{O}}} + \widehat {BQO} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {{\rm{BQO}}} = \widehat {BM{\rm{O}}}\), \(\widehat {AP{\rm{O}}} = \widehat {AM{\rm{O}}}\)
Suy ra \(\widehat {AM{\rm{O}}} + \widehat {BMO} = 180^\circ \)
Hay \(\widehat {AMB} = 180^\circ \)
Do đó A, M, B thẳng hàng
Vậy M thuộc cạnh AB
d) Ta có: AP = AD – DP, BK = BC – CK
Mà AD = BC, PD = CK
Suy ra AP = BK
Vì ABCD là hình vuông tâm O
Nên \(\widehat {DAO} = \widehat {OBC} = 45^\circ \)
Xét tam giác POA và tam giác KOB có
OA = OB
\(\widehat {DAO} = \widehat {OBC}\) (chứng minh trên)
PA = BK (chứng minh trên)
Suy ra △POA = △KOB (c.g.c)
Do đó \(\widehat {POA} = \widehat {K{\rm{OB}}}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {POA} = \widehat {{\rm{AOM}}}\)
Nên \(\widehat {KOB} = \widehat {{\rm{AOM}}}\)
Mặt khác \(\widehat {AOM} + \widehat {{\rm{MOB}}} = \widehat {AOB} = 90^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra \(\widehat {BOK} + \widehat {{\rm{MOB}}} = 90^\circ \)
Hay \(\widehat {MOK} = 90^\circ \)
Vậy \(\widehat {MOK} = 90^\circ \).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Hàm số f(x) luôn xác định trên R
Vậy m > \(\frac{{ - 4}}{5}\).
b) Hàm số f(x) luôn xác định trên R
Vậy m ≥ \(\frac{7}{3}\).
c) ) Hàm số f(x) luôn xác định trên R
Vậy – 5 < m < 0.
Lời giải
Ta có :
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {FD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BF} \)
\( = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} ) + (\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BF} ) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {FF} \)
\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} \)
Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận