Cho hình vuông ABCD, gọi O là tâm của hình vuông. Một đường thẳng qua O cắt AD tại P, cắt BC tại Q.

a) Chứng minh AP = CQ

b) Kẻ Px vuông góc AC tại  E (E thuộc AC). Kẻ Qy vuông góc BD tại F (F thuộc BD), Px và Qy cắt nhau tại M. Chứng minh OEMF là hình chữ nhật.

c) Chứng minh M thuộc cạnh AB

d) Lấy K thuộc BC sao cho CK = DP. Chứng minh \(\widehat {MOK} = 90^\circ \).

a) Vì ABCD là hình vuông tâm O

Nên OA = OB = OC = OD, AB = BC = CD = DA, AD // BC

Suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {ACB}\) (hai góc so le trong)

Xét tam giác AOP và tam gíc COQ có

\(\widehat {DAC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

\(\widehat {AOP} = \widehat {COQ}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó ΔAOP = ΔCOQ (g.c.g)

Suy ra AP = CQ (hai cạnh tương ứng)

b) Vì AB = AD nên tam giác ABD cân tại A

Mà AO là đường trung tuyến

Suy ra AO là đường cao

Hay AO ⊥ BD

Xét tứ giác OEMF có

\(\widehat {OEM} = \widehat {EOF} = \widehat {OFM} = 90^\circ \)

Suy ra OEMF là hình chữ nhật

c) Vì OEMF là hình chữ nhật

Nên \[\widehat {FME} = 90^\circ \]

Hay tam giác PMQ vuông tại M

Mà MO là trung tuyến

Suy ra OM = OP = OQ

Do đó tam giác POM cân tại O

Lại có OE là đường cao nên OE là phân giác của \(\widehat {POM}\)

Suy ra \(\widehat {POE} = \widehat {EOM}\)

Xét tam giác AOP và tam giác AOM có

AO là cạnh chung

\(\widehat {POE} = \widehat {EOM}\) (chứng minh trên)

OM = OP (chứng minh trên)

Suy ra △AOP = △AOM (c.g.c)

Do đó \(\widehat {AP{\rm{O}}} = \widehat {AM{\rm{O}}}\) (hai góc tương ứng)

Ta có OM = OQ

Do đó tam giác QOM cân tại O

Lại có OF là đường cao nên OF là phân giác của \(\widehat {QOM}\)

Suy ra \(\widehat {QOF} = \widehat {FOM}\)

Xét tam giác BOQ và tam giác BOM có

BO là cạnh chung

\(\widehat {QOF} = \widehat {FOM}\) (chứng minh trên)

OM = OQ (chứng minh trên)

Suy ra △ BOQ = △BOM (c.g.c)

Do đó \(\widehat {{\rm{BQO}}} = \widehat {BM{\rm{O}}}\) (hai góc tương ứng)

Vì AD // BC nên \(\widehat {AP{\rm{O}}} + \widehat {BQO} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {{\rm{BQO}}} = \widehat {BM{\rm{O}}}\), \(\widehat {AP{\rm{O}}} = \widehat {AM{\rm{O}}}\)

Suy ra \(\widehat {AM{\rm{O}}} + \widehat {BMO} = 180^\circ \)

Hay \(\widehat {AMB} = 180^\circ \)

Do đó A, M, B thẳng hàng

Vậy M thuộc cạnh AB

d) Ta có: AP = AD – DP, BK = BC – CK

Mà AD = BC, PD = CK

Suy ra AP = BK

Vì ABCD là hình vuông tâm O

Nên \(\widehat {DAO} = \widehat {OBC} = 45^\circ \)

Xét tam giác POA và tam giác KOB có

OA = OB

\(\widehat {DAO} = \widehat {OBC}\) (chứng minh trên)

PA = BK (chứng minh trên)

Suy ra △POA = △KOB (c.g.c)

Do đó \(\widehat {POA} = \widehat {K{\rm{OB}}}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {POA} = \widehat {{\rm{AOM}}}\)

Nên \(\widehat {KOB} = \widehat {{\rm{AOM}}}\)

Mặt khác \(\widehat {AOM} + \widehat {{\rm{MOB}}} = \widehat {AOB} = 90^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {BOK} + \widehat {{\rm{MOB}}} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {MOK} = 90^\circ \)

Vậy \(\widehat {MOK} = 90^\circ \).