Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC', BCA', CAB'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của CA’, AB’, AC’. Chứng minh rằng:

a) MN = PC.

b) Gọi O là giao điểm của MN và PC. Chứng minh \(\widehat {MOC} = 60^\circ \).

a) Gọi R là trung điểm của BC, Q là trung điểm của AC,

Xét tam giác ABC có R là trung điểm của BC, Q là trung điểm của AC,

Suy ra QR là đường trung bình của tam giác

Do đó QR // AB, \[QR = \frac{1}{2}AB\]

Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {RQC}\) (hai góc đồng vị)

Vì tam giác ABC’ đều có P là trung điểm của AC’

Nên \(\widehat {ABC'} = \widehat {AC'B} = \widehat {BAC'} = 60^\circ \),

Mà \[QR = \frac{1}{2}AB\]

Suy ra AP = QR

Xét tam giác AB’C có N là trung điểm của B’A, Q là trung điểm của AC

Suy ra QN là đường trung bình

Do đó QN // CB’,

Suy ra \(\widehat {NQC} + \widehat {QCB'} = 180^\circ \)

Hay \(\widehat {NQC} = 180^\circ - \widehat {QCB'} = 180 - 60^\circ = 120^\circ \)

Vì tam giác AB’C đều có N là trung điểm của AB’

Nên \(\widehat {AB'C} = \widehat {ACB'} = \widehat {B'AC} = 60^\circ \),

Mà

Suy ra QN = AN

Ta có \(\widehat {NAP} = \widehat {NAC} + \widehat {CAB} + \widehat {BAP} = 60^\circ + \widehat {CAB} + 60^\circ = \widehat {CAB} + 120^\circ \)

\(\widehat {NQ{\rm{R}}} = \widehat {CQ{\rm{R}}} + \widehat {NQC} = \widehat {CQ{\rm{R}}} + 120^\circ \)

Lại có \(\widehat {BAC} = \widehat {RQC}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {NAP} = \widehat {NQR}\)

Xét tam giác ANP và tam giác QNR có

QN = AN (chứng minh trên)

\(\widehat {NAP} = \widehat {NQR}\) (chứng minh trên)

AP = QR (chứng minh trên)

Do đó DANP = DQNR (c.g.c)

Suy ra PN = NR, \(\widehat {ANP} = \widehat {QNR}\)

Xét tam giác ANQ có

Suy ra tam giác ANQ đều

Do đó \(\widehat {ANQ} = 60^\circ \)

Hay \(\widehat {ANP} + \widehat {PNQ} = 60^\circ \)

Mà \(\widehat {ANP} = \widehat {QNR}\)

Suy ra \(\widehat {QN{\rm{R}}} + \widehat {PNQ} = 60^\circ \)

Hay \(\widehat {PNR} = 60^\circ \)

Mặt khác NP = NR (chứng minh trên)

Suy ra tam giác PNR đều

Do đó RN = RP

Xét tam giác A’BC có R là trung điểm của BC, M là trung điểm của A’C

Suy ra RM là đường trung bình

Do đó RM // BA’,

Vì tam giác A’BC đều có R là trung điểm của BC

Nên \(\widehat {A'BC} = \widehat {A'CB} = \widehat {BA'C} = 60^\circ \),

Mà

Suy ra RC = RM

Ta có \(\widehat {P{\rm{R}}C} = \widehat {PRN} + \widehat {RNC} = 60^\circ + \widehat {RNC}\)

\(\widehat {N{\rm{RM}}} = \widehat {CRM} + \widehat {NRC} = 60^\circ + \widehat {NRC}\)

Suy ra \(\widehat {PRC} = \widehat {NRM}\)

Xét tam giác PRC và tam giác NRM có

PR = RN (chứng minh trên)

\(\widehat {PRC} = \widehat {NRM}\) (chứng minh trên)

RC = RM (chứng minh trên)

Do đó DPRC = DNRM (c.g.c)

Suy ra PC = NM (hai cạnh tương ứng)

b) Vì △PRC = △NRM (chứng minh câu a)

Nên \(\widehat {RPC} = \widehat {RNM}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác PNO có \(\widehat {PNO} + \widehat {PON} + \widehat {OPN} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay \(\widehat {PNR} + \widehat {RNM} + \widehat {PON} + \widehat {OPN} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {RPC} = \widehat {RNM}\)

Suy ra \(\widehat {PON} = 180^\circ - \widehat {NP{\rm{R}}} - \widehat {PN{\rm{R}}} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \)

Lại có \(\widehat {PON} = \widehat {MOC}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat {MOC} = 60^\circ \)

Vậy \(\widehat {MOC} = 60^\circ \).