Câu hỏi:
13/07/2024 855
Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC', BCA', CAB'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của CA’, AB’, AC’. Chứng minh rằng:
a) MN = PC.
b) Gọi O là giao điểm của MN và PC. Chứng minh \(\widehat {MOC} = 60^\circ \).
Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC', BCA', CAB'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của CA’, AB’, AC’. Chứng minh rằng:
a) MN = PC.
b) Gọi O là giao điểm của MN và PC. Chứng minh \(\widehat {MOC} = 60^\circ \).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Gọi R là trung điểm của BC, Q là trung điểm của AC,
Xét tam giác ABC có R là trung điểm của BC, Q là trung điểm của AC,
Suy ra QR là đường trung bình của tam giác
Do đó QR // AB, \[QR = \frac{1}{2}AB\]
Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {RQC}\) (hai góc đồng vị)
Vì tam giác ABC’ đều có P là trung điểm của AC’
Nên \(\widehat {ABC'} = \widehat {AC'B} = \widehat {BAC'} = 60^\circ \),
Mà \[QR = \frac{1}{2}AB\]
Suy ra AP = QR
Xét tam giác AB’C có N là trung điểm của B’A, Q là trung điểm của AC
Suy ra QN là đường trung bình
Do đó QN // CB’,
Suy ra \(\widehat {NQC} + \widehat {QCB'} = 180^\circ \)
Hay \(\widehat {NQC} = 180^\circ - \widehat {QCB'} = 180 - 60^\circ = 120^\circ \)
Vì tam giác AB’C đều có N là trung điểm của AB’
Nên \(\widehat {AB'C} = \widehat {ACB'} = \widehat {B'AC} = 60^\circ \),
Mà
Suy ra QN = AN
Ta có \(\widehat {NAP} = \widehat {NAC} + \widehat {CAB} + \widehat {BAP} = 60^\circ + \widehat {CAB} + 60^\circ = \widehat {CAB} + 120^\circ \)
\(\widehat {NQ{\rm{R}}} = \widehat {CQ{\rm{R}}} + \widehat {NQC} = \widehat {CQ{\rm{R}}} + 120^\circ \)
Lại có \(\widehat {BAC} = \widehat {RQC}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {NAP} = \widehat {NQR}\)
Xét tam giác ANP và tam giác QNR có
QN = AN (chứng minh trên)
\(\widehat {NAP} = \widehat {NQR}\) (chứng minh trên)
AP = QR (chứng minh trên)
Do đó DANP = DQNR (c.g.c)
Suy ra PN = NR, \(\widehat {ANP} = \widehat {QNR}\)
Xét tam giác ANQ có
Suy ra tam giác ANQ đều
Do đó \(\widehat {ANQ} = 60^\circ \)
Hay \(\widehat {ANP} + \widehat {PNQ} = 60^\circ \)
Mà \(\widehat {ANP} = \widehat {QNR}\)
Suy ra \(\widehat {QN{\rm{R}}} + \widehat {PNQ} = 60^\circ \)
Hay \(\widehat {PNR} = 60^\circ \)
Mặt khác NP = NR (chứng minh trên)
Suy ra tam giác PNR đều
Do đó RN = RP
Xét tam giác A’BC có R là trung điểm của BC, M là trung điểm của A’C
Suy ra RM là đường trung bình
Do đó RM // BA’,
Vì tam giác A’BC đều có R là trung điểm của BC
Nên \(\widehat {A'BC} = \widehat {A'CB} = \widehat {BA'C} = 60^\circ \),
Mà
Suy ra RC = RM
Ta có \(\widehat {P{\rm{R}}C} = \widehat {PRN} + \widehat {RNC} = 60^\circ + \widehat {RNC}\)
\(\widehat {N{\rm{RM}}} = \widehat {CRM} + \widehat {NRC} = 60^\circ + \widehat {NRC}\)
Suy ra \(\widehat {PRC} = \widehat {NRM}\)
Xét tam giác PRC và tam giác NRM có
PR = RN (chứng minh trên)
\(\widehat {PRC} = \widehat {NRM}\) (chứng minh trên)
RC = RM (chứng minh trên)
Do đó DPRC = DNRM (c.g.c)
Suy ra PC = NM (hai cạnh tương ứng)
b) Vì △PRC = △NRM (chứng minh câu a)
Nên \(\widehat {RPC} = \widehat {RNM}\) (hai góc tương ứng)
Xét tam giác PNO có \(\widehat {PNO} + \widehat {PON} + \widehat {OPN} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)
Hay \(\widehat {PNR} + \widehat {RNM} + \widehat {PON} + \widehat {OPN} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {RPC} = \widehat {RNM}\)
Suy ra \(\widehat {PON} = 180^\circ - \widehat {NP{\rm{R}}} - \widehat {PN{\rm{R}}} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \)
Lại có \(\widehat {PON} = \widehat {MOC}\) (hai góc đối đỉnh)
Suy ra \(\widehat {MOC} = 60^\circ \)
Vậy \(\widehat {MOC} = 60^\circ \).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh
a) Tam giác ADB bằng tam giác ADC.
b) AD là tia phân giác của góc BAC.
c) AD vuông góc BC.
Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh
a) Tam giác ADB bằng tam giác ADC.
b) AD là tia phân giác của góc BAC.
c) AD vuông góc BC.
Xem đáp án »
13/07/2024
12,604
Câu 2:
Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, \(\widehat C = 60^\circ \). Độ dài cạnh c là
Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, \(\widehat C = 60^\circ \). Độ dài cạnh c là
Xem đáp án »
25/04/2023
9,586
Câu 3:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN. Chọn câu đúng.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN. Chọn câu đúng.
Xem đáp án »
25/04/2023
8,321
Câu 4:
Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên.
Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên.
Xem đáp án »
25/04/2023
5,152
Câu 5:
Cho A = (m; m + 1) ; B = (3; 5)
a) Tìm m để A hợp B là một khoảng. Xác định các khoảng đó.
b) A ∩ B ≠ ∅.
c) A ∩ B = ∅.
Cho A = (m; m + 1) ; B = (3; 5)
a) Tìm m để A hợp B là một khoảng. Xác định các khoảng đó.
b) A ∩ B ≠ ∅.
c) A ∩ B = ∅.
Xem đáp án »
13/07/2024
4,228
Câu 6:
Tìm giá trị thực của tham số m khác 0 để hàm số y = mx2 – 2mx – 3m – 2 có giá trị nhỏ nhất bằng – 10 trên ℝ.
Tìm giá trị thực của tham số m khác 0 để hàm số y = mx2 – 2mx – 3m – 2 có giá trị nhỏ nhất bằng – 10 trên ℝ.
Xem đáp án »
13/07/2024
3,371
Câu 7:
Cho tam giác đều cạnh a, trọng tâm G . Tính \(\left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right|\).
Cho tam giác đều cạnh a, trọng tâm G . Tính \(\left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right|\).
Xem đáp án »
13/07/2024
3,228
về câu hỏi!