Câu hỏi:
13/07/2024 1,212
Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC', BCA', CAB'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của CA’, AB’, AC’. Chứng minh rằng:
a) MN = PC.
b) Gọi O là giao điểm của MN và PC. Chứng minh \(\widehat {MOC} = 60^\circ \).
Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC', BCA', CAB'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của CA’, AB’, AC’. Chứng minh rằng:
a) MN = PC.
b) Gọi O là giao điểm của MN và PC. Chứng minh \(\widehat {MOC} = 60^\circ \).
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Gọi R là trung điểm của BC, Q là trung điểm của AC,
Xét tam giác ABC có R là trung điểm của BC, Q là trung điểm của AC,
Suy ra QR là đường trung bình của tam giác
Do đó QR // AB, \[QR = \frac{1}{2}AB\]
Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {RQC}\) (hai góc đồng vị)
Vì tam giác ABC’ đều có P là trung điểm của AC’
Nên \(\widehat {ABC'} = \widehat {AC'B} = \widehat {BAC'} = 60^\circ \),
Mà \[QR = \frac{1}{2}AB\]
Suy ra AP = QR
Xét tam giác AB’C có N là trung điểm của B’A, Q là trung điểm của AC
Suy ra QN là đường trung bình
Do đó QN // CB’,
Suy ra \(\widehat {NQC} + \widehat {QCB'} = 180^\circ \)
Hay \(\widehat {NQC} = 180^\circ - \widehat {QCB'} = 180 - 60^\circ = 120^\circ \)
Vì tam giác AB’C đều có N là trung điểm của AB’
Nên \(\widehat {AB'C} = \widehat {ACB'} = \widehat {B'AC} = 60^\circ \),
Mà
Suy ra QN = AN
Ta có \(\widehat {NAP} = \widehat {NAC} + \widehat {CAB} + \widehat {BAP} = 60^\circ + \widehat {CAB} + 60^\circ = \widehat {CAB} + 120^\circ \)
\(\widehat {NQ{\rm{R}}} = \widehat {CQ{\rm{R}}} + \widehat {NQC} = \widehat {CQ{\rm{R}}} + 120^\circ \)
Lại có \(\widehat {BAC} = \widehat {RQC}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {NAP} = \widehat {NQR}\)
Xét tam giác ANP và tam giác QNR có
QN = AN (chứng minh trên)
\(\widehat {NAP} = \widehat {NQR}\) (chứng minh trên)
AP = QR (chứng minh trên)
Do đó DANP = DQNR (c.g.c)
Suy ra PN = NR, \(\widehat {ANP} = \widehat {QNR}\)
Xét tam giác ANQ có
Suy ra tam giác ANQ đều
Do đó \(\widehat {ANQ} = 60^\circ \)
Hay \(\widehat {ANP} + \widehat {PNQ} = 60^\circ \)
Mà \(\widehat {ANP} = \widehat {QNR}\)
Suy ra \(\widehat {QN{\rm{R}}} + \widehat {PNQ} = 60^\circ \)
Hay \(\widehat {PNR} = 60^\circ \)
Mặt khác NP = NR (chứng minh trên)
Suy ra tam giác PNR đều
Do đó RN = RP
Xét tam giác A’BC có R là trung điểm của BC, M là trung điểm của A’C
Suy ra RM là đường trung bình
Do đó RM // BA’,
Vì tam giác A’BC đều có R là trung điểm của BC
Nên \(\widehat {A'BC} = \widehat {A'CB} = \widehat {BA'C} = 60^\circ \),
Mà
Suy ra RC = RM
Ta có \(\widehat {P{\rm{R}}C} = \widehat {PRN} + \widehat {RNC} = 60^\circ + \widehat {RNC}\)
\(\widehat {N{\rm{RM}}} = \widehat {CRM} + \widehat {NRC} = 60^\circ + \widehat {NRC}\)
Suy ra \(\widehat {PRC} = \widehat {NRM}\)
Xét tam giác PRC và tam giác NRM có
PR = RN (chứng minh trên)
\(\widehat {PRC} = \widehat {NRM}\) (chứng minh trên)
RC = RM (chứng minh trên)
Do đó DPRC = DNRM (c.g.c)
Suy ra PC = NM (hai cạnh tương ứng)
b) Vì △PRC = △NRM (chứng minh câu a)
Nên \(\widehat {RPC} = \widehat {RNM}\) (hai góc tương ứng)
Xét tam giác PNO có \(\widehat {PNO} + \widehat {PON} + \widehat {OPN} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)
Hay \(\widehat {PNR} + \widehat {RNM} + \widehat {PON} + \widehat {OPN} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {RPC} = \widehat {RNM}\)
Suy ra \(\widehat {PON} = 180^\circ - \widehat {NP{\rm{R}}} - \widehat {PN{\rm{R}}} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \)
Lại có \(\widehat {PON} = \widehat {MOC}\) (hai góc đối đỉnh)
Suy ra \(\widehat {MOC} = 60^\circ \)
Vậy \(\widehat {MOC} = 60^\circ \).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)
Đã bán 1,5k
₫ 70.000
₫ 36.000
Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)
Đã bán 1,4k
₫ 280.000
₫ 150.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh
a) Tam giác ADB bằng tam giác ADC.
b) AD là tia phân giác của góc BAC.
c) AD vuông góc BC.
Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh
a) Tam giác ADB bằng tam giác ADC.
b) AD là tia phân giác của góc BAC.
c) AD vuông góc BC.
Xem đáp án »
13/07/2024
36,353
Câu 2:
Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2 + x}}{{2 - x}} - \frac{{4{{\rm{x}}^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right):\frac{{{x^2} - 3{\rm{x}}}}{{2{{\rm{x}}^2} - {x^3}}}\).
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của x để P chia hết cho 4.
Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2 + x}}{{2 - x}} - \frac{{4{{\rm{x}}^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right):\frac{{{x^2} - 3{\rm{x}}}}{{2{{\rm{x}}^2} - {x^3}}}\).
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của x để P chia hết cho 4.
Xem đáp án »
13/07/2024
15,767
Câu 3:
Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, \(\widehat C = 60^\circ \). Độ dài cạnh c là
Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, \(\widehat C = 60^\circ \). Độ dài cạnh c là
Xem đáp án »
25/04/2023
12,799
Câu 4:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN. Chọn câu đúng.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN. Chọn câu đúng.
Xem đáp án »
25/04/2023
10,363
Câu 5:
Tìm giá trị thực của tham số m khác 0 để hàm số y = mx2 – 2mx – 3m – 2 có giá trị nhỏ nhất bằng – 10 trên ℝ.
Tìm giá trị thực của tham số m khác 0 để hàm số y = mx2 – 2mx – 3m – 2 có giá trị nhỏ nhất bằng – 10 trên ℝ.
Xem đáp án »
13/07/2024
9,623
Câu 6:
Cho tam giác đều cạnh a, trọng tâm G . Tính \(\left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right|\).
Cho tam giác đều cạnh a, trọng tâm G . Tính \(\left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right|\).
Xem đáp án »
13/07/2024
6,474
Câu 7:
Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên.
Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên.
Xem đáp án »
25/04/2023
5,750
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận