Cho tam giác ABC có trọng tâm G, hai điểm M, N thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} ;\)\(3\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \).
a) Xác định 2 điểm M, N.
b) Tính \(\overrightarrow {MN} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
c) Tính \(\overrightarrow {MG} \)theo 2 vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \). Suy ra 3 điểm M, N, G thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G, hai điểm M, N thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} ;\)\(3\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \).
a) Xác định 2 điểm M, N.
b) Tính \(\overrightarrow {MN} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
c) Tính \(\overrightarrow {MG} \)theo 2 vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \). Suy ra 3 điểm M, N, G thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:


a) Ta có \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \)
Suy ra M thuộc đường thẳng AB sao cho B là trung điểm của AM.
Ta có \(3\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 5\overrightarrow {NA} = 2\overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \)
Suy ra N thuộc đoạn thẳng AC sao cho \(AN = \frac{2}{5}AC\).
b) Ta có \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} \)
Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} \).
c) Gọi I là trung điểm của BC.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) - 2\overrightarrow {AB} = \frac{{ - 5}}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
\( = \frac{5}{6}.\left( {\frac{2}{5}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{5}{6}\overrightarrow {MN} \).
Do đó \(\overrightarrow {MG} = \frac{5}{6}\overrightarrow {MN} \)
Suy ra M, N , G thẳng hàng.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải

a) Xét tam giác ADB và tam giác ADC có
AB = AC (giả thiết)
DB = DC (vì D là trung điểm của BC)
AD là cạnh chung
Suy ra △ADB = △ADC ( c.c.c)
b) Vì △ADB = △ADC (chứng minh câu a)
Nên \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{D}}}\) ( 2 góc tương ứng)
Suy ra AD là phân giác của góc BAC
c) Vì △ADB = △ADC (chứng minh câu a)
Nên \(\widehat {A{\rm{DB}}} = \widehat {A{\rm{DC}}}\) ( 2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat {A{\rm{DB}}} + \widehat {A{\rm{DC}}} = 180^\circ \) (2 góc kề bù)
Suy ra \(\widehat {A{\rm{DB}}} = \widehat {A{\rm{DC}}} = 90^\circ \)
Hay AD ⊥ BC
Vậy AD ⊥ BC.
Lời giải
a) Điều kiện xác định x ≠ {– 2; 0; 2; 3}
Ta có \(P = \left( {\frac{{2 + x}}{{2 - x}} - \frac{{4{{\rm{x}}^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right):\frac{{{x^2} - 3{\rm{x}}}}{{2{{\rm{x}}^2} - {x^3}}}\)

b) Với x ≠ {– 2; 0; 2; 3}, ta có
\(P = \frac{{4{{\rm{x}}^2}}}{{x - 3}} = \frac{{4x(x - 3) + 12\left( {x - 3} \right) + 36}}{{x - 3}} = 4{\rm{x}} + 12 + \frac{{36}}{{x - 3}}\)
\(P:4 = x + 3 + \frac{9}{{x - 3}}\)
Để P ⋮ 4 thì 9 ⋮ x – 3
Suy ra x – 3 ∈ Ư(9) = {1; 3; 9; – 1; – 3; – 9}
Do đó x ∈ {4; 6; 12; 2; 0; – 6}
Mà x ≠ {– 2; 0; 2; 3}
Suy ra x ∈ {4; 6; 12; – 6}
Vậy x ∈ {4; 6; 12; – 6}.
Câu 3
A. \(c = 3\sqrt {21} \);
B. \(c = 7\sqrt 2 \);
C. \(c = 2\sqrt {11} \);
D. \(c = 2\sqrt {21} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {B{\rm{D}}} \);
B. \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \);
C. \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \);
D. \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {B{\rm{D}}} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.