a) Để A hợp B là một khoảng thì

Trường hợp 1: A ⊂ B, tức (m; m + 1) ⊂ (3; 5)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le m\\m + 1 \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m \le 4 \Leftrightarrow m \in \left[ {3;4} \right]\)

Khi đó A ∪ B = (3; 5).

Trường hợp 2: B ⊂ A, tức (3; 5) ⊂ (m; m + 1)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 3\\5 \le m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 3\\m \ge 4\end{array} \right.\] (loại)

Do đó không xảy ra trường hợp này.

Khi đó A ∪ B = (3; 5).

Trường hợp 3: A ∪ B = (m; 5) thì

\[\left\{ \begin{array}{l}m \le 3\\m + 1 > 3\\m + 1 \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 3\\m > 2\\m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m \le 3 \Leftrightarrow m \in \left( {2;3} \right]\]

Trường hợp 4: A ∪ B = (3; m +1) thì

\[\left\{ \begin{array}{l}3 \le m\\5 > m\\5 \le m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\m < 5\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le m < 5 \Leftrightarrow m \in \left[ {4;5} \right)\]

Vậy \[m \in \left( {2;3} \right]\] thì A ∪ B = (m; 5);

        \(m \in \left[ {3;4} \right]\) thì A ∪ B = (3; 5);

        \[m \in \left[ {4;5} \right)\] thì A ∪ B = (3; m +1).

b) A ⋂ B ≠ ∅

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 3\\m < 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m < 5\end{array} \right.\)⇔ m ∈ (2; 5).

c) A ⋂ B = ∅

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 3\\m \ge 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ge 5\end{array} \right.\)⇔ m ∈ (– ∞; 2] ∪ [5; + ∞).