a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Vì AI là phân giác của góc BAC nên \(\widehat {{A_1}} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Vì BI là phân giác của góc ABC nên \(\widehat {{B_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\)

Vì CI là phân giác của góc ACB nên \(\widehat {{C_1}} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\)

Gọi giao điểm của BI và AC là M.

Vì \(\widehat {{I_1}}\) là góc ngoài của tam giác BIC

Nên \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Xét DICM và DACI có

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{I_1}}\left( { = 45^\circ } \right)\);

 \(\widehat {IC{\rm{A}}}\) là góc chung

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{IC}}{{AC}} = \frac{{CM}}{{CI}}\) (tỉ số đồng dạng)

Hay CI² = CM . AC, mà IC = 6 nên CM . AC = 36

Suy ra \(CM = \frac{{36}}{{AC}}\).

Do BM là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên ta có

\(\frac{{CB}}{{AB}} = \frac{{CM}}{{MA}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{BA + BC}} = \frac{{CM}}{{MA + CM}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{5 + BC}} = \frac{{CM}}{{AC}}\)

Mà \(CM = \frac{{36}}{{AC}}\)

Suy ra \(\frac{{36}}{{A{C^2}}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}} \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - A{B^2}}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}} \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = \frac{{BC\left( {BC - 5} \right)}}{{B{C^2} - 25}}\)

Suy ra BC(BC – 5) = 36

Hay BC² – 5BC – 36 = 0

Suy ra BC = 9 (do BC > 0).

b) Kẻ CH ⊥ BI và CH cắt BA tại K.

Xét tam giác BCK có BH vừa là tia phân giác vừa là đường cao

Suy ra tam giác BCK cân tại B

Do đó BH là trung tuyến và BK = BC

Hay \[CH = HK = \frac{1}{2}CK\]

Đặt BC = x

Ta có AK = BK – AB = BC – AB = x – AB

Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {HCM}\) (cùng phụ với \(\widehat {BKC}\))

Mà \(\widehat {ABM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {HCM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Ta có \(\widehat {HCI} = \widehat {HCM} + \widehat {MCI} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ \)

Xét tam giác ICH vuông ở H có

\(\widehat {HIC} + \widehat {HCI} = 90^\circ \) (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {HCI} = 45^\circ \) nên \(\widehat {HIC} = 45^\circ \)

Suy ra \(\widehat {HCI} = \widehat {HIC}\)

Do đó tam giác HIC vuông ở H, nên HI = HC

Xét tam giác ICH vuông ở H có

IC² = HI² + HC² (định lí Pytago)

Hay 10 = 2HI² (do \(IC = \sqrt {10} \))

Suy ra \[HI = HC = \sqrt 5 \]

Ta có \[BH = BI + IH = \sqrt 5 + \sqrt 5 = 2\sqrt 5 \];

          \[CK = 2CH = 2\sqrt 5 \]

Xét tam giác BCH vuông ở H có

BC² = HB² + HC² (định lí Pytago)

Hay BC² = 20 + 5

Suy ra BC = 5.

Xét tam giác BCA vuông ở A có

BC² = AB² + AC² (định lí Pytago)

Hay 5² = AB² + AC² = 25

Xét tam giác AKC vuông ở A có

KC² = AK² + AC² (định lí Pytago)

⇔ 20 = (BC – AB)² + AC²

⇔ 20 = (5 – AB)² + AC²

⇔ 20 = 25 – 10AB + AB² + AC²

⇔ 20 = 25 – 10AB + 25

⇔ AB = 3

Khi đó \(AC = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)

Vậy AB = 3, AC = 4.

a) AB = 6 cm, BC = 10 cm. Tính AC, BH, HC, AH.

• Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC² = AB² + AC² (định lí Pytago)

Suy ra \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\) (cm)

• Xét DABC vuông tại A có AH là đường cao nên ta có:

AB² = BH.BC, suy ra \(BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\left( {cm} \right)\).

AC² = CH.BC, suy ra \(CH = \frac{{A{C^2}}}{{BC}} = \frac{{{8^2}}}{{10}} = 6,4\left( {cm} \right)\).

AH . BC = AB . AC, suy ra \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\left( {cm} \right)\)

b) BH = 1 cm, AH = 2 cm. Tính HC, AC, BA, BC.

• Vì tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao nên:

AH² = BH.CH, suy ra \[CH = \frac{{A{H^2}}}{{BH}} = \frac{{{2^2}}}{1} = 4\left( {cm} \right)\].

• Vì DACH vuông tại H nên AC² = AH² + CH² (định lí Pytago)

Suy ra \(AC = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \left( {cm} \right)\).

• Vì DABH vuông tại H nên BA² = HB² + AH² (định lí Pytago)

Suy ra \(AB = \sqrt {B{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \) (cm)

• Xét DABC vuông tại A có AH là đường cao nên AB² = BH . BC

Suy ra \(BC = \frac{{A{B^2}}}{{BH}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}{1} = 5\left( {cm} \right)\).

c) BH = 4 cm, HC = 9 cm. Tính BC, AB, AH, AC.

• Ta có BC = BH + CH = 4 + 9 = 13 (cm).

• Xét DABC vuông tại A có AH là đường cao nên AB² = BH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Suy ra \(AB = \sqrt {BH.BC} = \sqrt {4.13} = 2\sqrt {13} \left( {cm} \right)\)

• Xét DABC vuông tại A có AH là đường cao nên AH² = BH.CH (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Suy ra \(AH = \sqrt {BH.CH} = \sqrt {4.9} = 6\left( {cm} \right)\).

• Vì DABC vuông tại A nên BC² = AB² + AC² (định lí Pytago)

Suy ra \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {{\left( {2\sqrt {13} } \right)}^2}} = 3\sqrt {13} \) (cm).

d) BH = 9 cm, AC = 20 cm. Tính HC, AH, AB, BC.

Xét DABC vuông tại A có AH là đường cao nên

• AC² = CH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Û 20² = CH.(CH + BH)

Û 400 = CH.(CH + 9)

Û 400 = CH² + 9CH

Û CH² + 9CH – 400 = 0

Û CH = 16 cm (do CH > 0)

• AH² = BH.CH = 9.16 = 144, suy ra AH = 12 (cm).

Xét DABH vuông tại H có AB² = AH² + BH² (định lí Pytago)

Suy ra \(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {9^2}} = \sqrt {225} = 15\left( {cm} \right)\)

Xét DABC vuông tại A nên BC² = AB² + AC² (định lí Pytago)

Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} = 25\) (cm)