Cho tứ diện S.ABC. Gọi O là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh SA, SC sao cho MN không song song với AC. Tìm thiết diện do (MNO) cắt tứ diện S.ABC.

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Vì AI là phân giác của góc BAC nên \(\widehat {{A_1}} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Vì BI là phân giác của góc ABC nên \(\widehat {{B_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\)

Vì CI là phân giác của góc ACB nên \(\widehat {{C_1}} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\)

Gọi giao điểm của BI và AC là M.

Vì \(\widehat {{I_1}}\) là góc ngoài của tam giác BIC

Nên \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Xét DICM và DACI có

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{I_1}}\left( { = 45^\circ } \right)\);

 \(\widehat {IC{\rm{A}}}\) là góc chung

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{IC}}{{AC}} = \frac{{CM}}{{CI}}\) (tỉ số đồng dạng)

Hay CI² = CM . AC, mà IC = 6 nên CM . AC = 36

Suy ra \(CM = \frac{{36}}{{AC}}\).

Do BM là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên ta có

\(\frac{{CB}}{{AB}} = \frac{{CM}}{{MA}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{BA + BC}} = \frac{{CM}}{{MA + CM}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{5 + BC}} = \frac{{CM}}{{AC}}\)

Mà \(CM = \frac{{36}}{{AC}}\)

Suy ra \(\frac{{36}}{{A{C^2}}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}} \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - A{B^2}}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}} \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = \frac{{BC}}{{BC + 5}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = \frac{{BC\left( {BC - 5} \right)}}{{B{C^2} - 25}}\)

Suy ra BC(BC – 5) = 36

Hay BC² – 5BC – 36 = 0

Suy ra BC = 9 (do BC > 0).

b) Kẻ CH ⊥ BI và CH cắt BA tại K.

Xét tam giác BCK có BH vừa là tia phân giác vừa là đường cao

Suy ra tam giác BCK cân tại B

Do đó BH là trung tuyến và BK = BC

Hay \[CH = HK = \frac{1}{2}CK\]

Đặt BC = x

Ta có AK = BK – AB = BC – AB = x – AB

Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {HCM}\) (cùng phụ với \(\widehat {BKC}\))

Mà \(\widehat {ABM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {HCM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Ta có \(\widehat {HCI} = \widehat {HCM} + \widehat {MCI} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ \)

Xét tam giác ICH vuông ở H có

\(\widehat {HIC} + \widehat {HCI} = 90^\circ \) (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {HCI} = 45^\circ \) nên \(\widehat {HIC} = 45^\circ \)

Suy ra \(\widehat {HCI} = \widehat {HIC}\)

Do đó tam giác HIC vuông ở H, nên HI = HC

Xét tam giác ICH vuông ở H có

IC² = HI² + HC² (định lí Pytago)

Hay 10 = 2HI² (do \(IC = \sqrt {10} \))

Suy ra \[HI = HC = \sqrt 5 \]

Ta có \[BH = BI + IH = \sqrt 5 + \sqrt 5 = 2\sqrt 5 \];

          \[CK = 2CH = 2\sqrt 5 \]

Xét tam giác BCH vuông ở H có

BC² = HB² + HC² (định lí Pytago)

Hay BC² = 20 + 5

Suy ra BC = 5.

Xét tam giác BCA vuông ở A có

BC² = AB² + AC² (định lí Pytago)

Hay 5² = AB² + AC² = 25

Xét tam giác AKC vuông ở A có

KC² = AK² + AC² (định lí Pytago)

⇔ 20 = (BC – AB)² + AC²

⇔ 20 = (5 – AB)² + AC²

⇔ 20 = 25 – 10AB + AB² + AC²

⇔ 20 = 25 – 10AB + 25

⇔ AB = 3

Khi đó \(AC = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)

Vậy AB = 3, AC = 4.

a) Xét tam giác CEF vuông ở F có \(\cos C = \frac{{CF}}{{CE}}\)

Xét tam giác CEF và tam giác CBA có

\(\widehat C\) là góc chung;

\(\widehat {BAC} = \widehat {{\rm{EF}}C} = 90^\circ \)

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{CA}}{{CB}}\)

Xét tam giác AFC và tam giác BEC có

\(\widehat C\) là góc chung;

\(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{CA}}{{CB}}\) (chứng minh trên)

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{FA}}{{BE}}\)

Mà cosC = \(\frac{{CF}}{{CE}}\)

Suy ra AF = BE . cosC.

b) Vì tam giác ABC vuông tại A

Suy ra AB = BC . sinC = 10 . 0,6 = 6.

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pytago có

BC² = AB² + AC²

Suy ra \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\)

Mà E là trung điểm AC nên AE = EC = 4

Vì tam giác FEC vuông tại F

Suy ra FE = EC . sinC = 4 . 0,6 = 2,4

Xét tam giác FEC vuông tại F, theo định lí Pytago có

EC² = FE² + FC²

Suy ra \(FC = \sqrt {E{C^2} - F{{\rm{E}}^2}} = \sqrt {{4^2} - 2,{4^2}} = 3,2\)

Khi đó BF = BC – FC = 10 – 3,2 = 6,8

Ta có S_ABFE = S_ABE + S_BFE

\( = \frac{1}{2}AB.AE + \frac{1}{2}BF.FE\)

\( = \frac{1}{2}.6.4 + \frac{1}{2}.6,8.2,4 = 20,16\left( {c{m^2}} \right)\)

c) Ta có \(\frac{{CF}}{{CE}} = \frac{{FA}}{{BE}} = \frac{{3,2}}{4}\)

Suy ra AF = 0,8BE

Vì tam giác ABE vuông tại A nên

BE² = AB² + AE²

Hay BE² = 6² + 4²

suy ra \(BE = \sqrt {52} \)

Ta có \[{S_{ABFE}} = \frac{1}{2}AF.BE.\sin \widehat {AOB}\]

\( \Leftrightarrow 20,16 = \frac{1}{2}.0,8.\sqrt {52} .\sqrt {52} .\sin \widehat {AOB}\)

\( \Leftrightarrow \sin \widehat {AOB} = \frac{{20,16}}{{20,8}} = \frac{{63}}{{65}}\) .