Câu hỏi:

11/07/2024 3,229

Giải phương trình sau: \({\sin ^8}x + co{s^8}x = \frac{1}{8}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x + co{s^2}x = 1\\ \Rightarrow {\sin ^4}x + co{s^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.co{s^2}x\\ = 1 - 2{\sin ^2}x.co{s^2}x\\ \Rightarrow {\sin ^8}x + co{s^8}x = {\left( {{{\sin }^4}x + co{s^4}x} \right)^2} - 2{\sin ^4}x.co{s^4}x\\ = 1 + {\sin ^4}x.co{s^4}x - 4{\sin ^2}x.co{s^2}x\\ = 1 + 2{\sin ^2}x.co{s^2}x.\left( {{{\sin }^2}x.co{s^2}x - 2} \right)\\ = 1 + \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2}.\left( {\frac{{{{\sin }^2}2x}}{4} - 1} \right)\end{array}\)

Đặt t = sin²2x (0 < t < 1)

Phương trình đã cho có dạng:

\(\begin{array}{l}1 + \frac{t}{2}\left( {\frac{t}{4} - 2} \right) = \frac{1}{8}\\ \Leftrightarrow 8 + {t^2} - 8t = 1\\ \Leftrightarrow {t^2} - 8t + 7 = 0\\ \Rightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\,\,(TM)\end{array}\)

Với t = 1 ta có:

\({\sin ^2}2x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), E là trung điểm của BC. Kẻ EF vuông góc với AB tại F, ED vuông góc với AC tại D. Gọi O là giao điểm của AE và DF.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

b) Gọi K là điểm đối xứng của E qua D. Chứng minh tứ giác AECK là hình thoi.

c) Chứng minh rằng ba điểm B, O, K thẳng hàng.

d) Kẻ EM vuông góc với AK tại M. Chứng minh: \(\widehat {DMF} = 90^\circ \).

Xem đáp án

Lời giải

Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), E là trung điểm của BC. Kẻ EF vuông góc với (ảnh 1)

EF vuông góc với AB do đó \(\widehat {AFE} = 90^\circ \)

ED vuông góc với AC do đó \(\widehat {ADE} = 90^\circ \)

Tứ giác ADEF có:

\(\widehat {FAD} = 90^\circ \)

\(\widehat {AFE} = 90^\circ \)

\(\widehat {ADE} = 90^\circ \)

Do đó, ADEF là hình chữ nhật

K đối xứng với E qua D

Do đó D là trung điểm của EK

ED vuông góc với AC, AB vuông góc với AC

Do đó, ED song song với AB

Tam giác ABC có:

E là trung điểm của BC

ED song song với AB

Do đó, D là trung điểm của AC

Tứ giác AECK có:

D là trung điểm của AC, EK

Do đó, AECK là hình bình hành mà EK vuông góc với AC

Do đó, AECK là hình thoi

ADEF là hình chữ nhật, DF và AE giao nhau tại O

Nên O là trung điểm của DF, AE và DF = AE

AECK là hình thoi nên AK = EC, AK song song với EC

AK = EC, BE = EC nên AK = BE

Tứ giác ABEK có:

AK = BE

AK song song với BE

Do đó, ABEK là hình bình hành

Do đó, AE, BK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà O là trung điểm của AE, O là trung điểm của BK

Do đó, B, O, K thẳng hàng

Tam giác AME vuông tại M có MO là đường trung tuyến

\(MO = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}DF\)

Tam giác FMD có:

\(MO = \frac{1}{2}DF\)

MO là đường trung tuyến

Do đó, FMD vuông tại M

\( \Rightarrow \widehat {DMF} = 90^\circ \)

Câu 2

Nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn sinA = cosB + cosC thì tam giác ABC là tam giác gì ?

Xem đáp án

Lời giải

\(\sin A = \cos B + \cos C = 2cos\frac{{B + C}}{2}.cos\frac{{B - C}}{2}\)

\( = 2\sin \frac{A}{2}.cos\frac{{B - C}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}.cos\frac{A}{2} = 2\sin \frac{A}{2}.cos\frac{{B - C}}{2}\)

\( \Leftrightarrow cos\frac{A}{2} = cos\frac{{B - C}}{2} \Rightarrow \frac{A}{2} = \frac{{B - C}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat B = \widehat A + \widehat C\\ \Rightarrow 2\widehat B = 180^\circ \Rightarrow \widehat B = 90^\circ \end{array}\)

Câu 3