Câu hỏi:
13/07/2024 2,526
Cho nửa đường tròn tâm O với bán kính R, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn. Xét điểm M thay đổi trên Ax, không trùng với A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua OM.
a) Chứng minh rằng ME là một tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)
b) Đoạn OM cắt nửa đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AME
c) Gọi N là trung điểm EB. Tia ME cắt ON tại P. Hãy xác định vị trí của điểm M trên tia Ax để diện tích tam giác OMP đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R.
c) Gọi C là giao điểm của BE và tia Ax, OC cắt AE tại Q. Kẻ đường thẳng qua Q và song song với Ax, cắt OM tại D. Chứng minh rằng A, D, P thẳng hàng.
Cho nửa đường tròn tâm O với bán kính R, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn. Xét điểm M thay đổi trên Ax, không trùng với A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua OM.
a) Chứng minh rằng ME là một tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)
b) Đoạn OM cắt nửa đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AME
c) Gọi N là trung điểm EB. Tia ME cắt ON tại P. Hãy xác định vị trí của điểm M trên tia Ax để diện tích tam giác OMP đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R.
c) Gọi C là giao điểm của BE và tia Ax, OC cắt AE tại Q. Kẻ đường thẳng qua Q và song song với Ax, cắt OM tại D. Chứng minh rằng A, D, P thẳng hàng.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có A, E đối xứng qua OM Þ MA = ME, OA = OE
Þ OE = R nên E thuộc đường tròn (O)
Xét ∆MAO và ∆MEO
OM: cạnh chung
MA = ME (cmt)
OA = OE (cmt)
Þ ∆MAO = ∆MEO (c.c.c)
\( \Rightarrow \widehat {MEO} = \widehat {MAO} = 90^\circ \)
Suy ra ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Ta có: A và E đối xứng qua OM suy ra MO là trung trực của AE
Mà I Î OM Þ IA = IE
Lại có MA là tiếp tuyến của (O)
\( \Rightarrow \widehat {MAI} = \widehat {IEA} = \widehat {IAE}\)
Suy ra AI là phân giác của \(\widehat {MAE}\)
Tương tự ta có EI là phân giác của \(\widehat {MEA}\)
Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ∆AME
c) Ta có N là trung điểm của BE Þ ON ^ BE Þ OP ^ BE
Do AB là đường kính của (O) Þ AE ^ EB
Mà MO là trung trực của AE Þ MO // BE
Þ MO ^ OP vì OP ^ BE
Suy ra ΔOMP vuông tại O
Lại có OE ^ MP
Þ EM.EP = OE2 = R2
\( \Rightarrow {S_{OMP}} = \frac{1}{2}OE\,.\,MP = \frac{1}{2}R\,.\,\left( {ME + EP} \right) \ge \frac{1}{2}R\,.\,\sqrt {ME\,.\,EP} = {R^2}\)
Dấu “=” xảy ra khi ME = EP = R
Þ ΔMEO vuông cân tại E
\( \Rightarrow OM = R\sqrt 2 = OA\sqrt 2 \Rightarrow MA = R\)
d) Gọi QD ∩ AB = F, AE ∩ BP = G
Ta có OP // AE (^ BE), O là trung điểm AB
Suy ra OP là đường trung bình ΔABG
Suy ra P là trung điểm của PG hay PG = PB
Ta có BE ∩ AM = C
Tương tự ta có M là trung điểm của AC hay MA = MC
Lại có QF // AC
\( \Rightarrow \frac{{QD}}{{MC}} = \frac{{OD}}{{OM}} = \frac{{DF}}{{MA}}\)
Þ QD = DF Þ D là trung điểm của QF
Ta có QF // BG (^ AB)
\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{QF}}{{GB}} = \frac{{2DF}}{{2BP}} = \frac{{DF}}{{BP}}\)
Lại có \(\widehat {AFD} = \widehat {ABP} = 90^\circ \)
Suy ra ΔAFD ᔕ ΔABP (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {DAF} = \widehat {PAB}\)
Suy ra A, D, P thẳng hàng.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác trong BD (K Î AB, D Î AC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.
a) Chứng minh CDKI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AC = DH.AB
c) Gọi F là trung điểm AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác trong BD (K Î AB, D Î AC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.
a) Chứng minh CDKI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AC = DH.AB
c) Gọi F là trung điểm AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.
Xem đáp án »
13/07/2024
16,001
Câu 2:
Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu các học sinh ở cùng một khối thì xếp gần nhau.
Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu các học sinh ở cùng một khối thì xếp gần nhau.
Xem đáp án »
13/07/2024
9,651
Câu 3:
Cho tam giác ABC cân tại A, M trung điểm BC, H là hình chiếu của M trên AC, E là trung điểm MH . Chứng minh AE vuông góc với BH
Cho tam giác ABC cân tại A, M trung điểm BC, H là hình chiếu của M trên AC, E là trung điểm MH . Chứng minh AE vuông góc với BH
Xem đáp án »
13/07/2024
8,587
Câu 4:
Cho tam giác ABC, AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại M.
a) Chứng minh: ∆AMB = ∆AMC.
b) Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC.
c) K là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AM, đường thẳng CK cắt cạnh AB tại I. Vẽ IH vuông góc với BC tại H. Chứng minh \(\widehat {BAC} = 2\widehat {BIH}\).
Cho tam giác ABC, AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại M.
a) Chứng minh: ∆AMB = ∆AMC.
b) Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC.
c) K là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AM, đường thẳng CK cắt cạnh AB tại I. Vẽ IH vuông góc với BC tại H. Chứng minh \(\widehat {BAC} = 2\widehat {BIH}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
6,428
Câu 5:
Chứng minh: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} \)
Chứng minh: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} \)
Xem đáp án »
13/07/2024
6,058
Câu 6:
Cho ∆ABC cân tại A. H là trung điểm của BC. D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh AM vuông góc BD.
Cho ∆ABC cân tại A. H là trung điểm của BC. D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh AM vuông góc BD.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,786
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
206 câu Bài tập Nguyên hàm, tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
-
175 câu Bài tập Số phức cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
về câu hỏi!