Câu hỏi:
27/04/2023 1,623Chứng minh rằng:
a) \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\);
b) \(\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\).Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
a) Ta có:
\(\sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \alpha \cos \frac{\pi }{4} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( = \sqrt 2 \left( {\cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)
\( = \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)\)
= cosα + sin α (1)
\(\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)
\[ = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]
\( = \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\)
= sin α + cosα (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\) (đccm);
b) Ta có: \(\sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( = \sqrt 2 \left( {\cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)
\( = \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\)
= cosα – sin α (3)
\( - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \left( {\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)
\[ = - \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]
\( = - \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)\)
= – (sin α – cosα) = cosα – sin α (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\) (đpcm).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác trong BD (K Î AB, D Î AC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.
a) Chứng minh CDKI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AC = DH.AB
c) Gọi F là trung điểm AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.
Câu 2:
Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu các học sinh ở cùng một khối thì xếp gần nhau.
Câu 3:
Cho đường thẳng (d) có phương trình y = (3m – 2)x + m – 2 (với m là tham số)
a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2). Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được
b) Đường thẳng (d) cắt Ox tại A, Oy tại B. Tìm m để diện tích ∆OAB bằng \(\frac{1}{2}\).
Câu 4:
Cho parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng (d): y = mx + 2.
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m để \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3\]
Câu 5:
Cho hàm số y = 2x + 3 và \(y = \frac{{ - 1}}{2}x - 2\).
a) Vẽ đồ thị hàm số trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ của điểm C của 2 đồ thị trên.
c) Tính diện tích tam giác ABC biết A, B lần lượt là giao điểm của 2 đường thẳng trên trục tung.
Câu 6:
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng đi qua B vuông góc với OA tại H và cắt đường tròn (O) tại C. Vẽ đường kính BD. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N (M nằm giữa A và N). Chứng minh:
a) CD // OA.
b) AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Cho biết R = 15 cm, BC = 24 cm. Tính AB, OA.
về câu hỏi!