Câu hỏi:

13/07/2024 5,674

Chứng minh rằng:

a) \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\);
b) \(\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có:

\(\sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \alpha \cos \frac{\pi }{4} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \left( {\cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)\)

= cosα + sin α (1)

\(\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\[ = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]

\( = \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\)

= sin α + cosα (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\) (đccm);

b) Ta có: \(\sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \left( {\cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\)

= cosα – sin α (3)

\( - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \left( {\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\[ = - \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]

\( = - \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)\)

= – (sin α – cosα) = cosα – sin α (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\) (đpcm).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác trong BD (K Î AB, D Î AC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.

a) Chứng minh CDKI là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AD.AC = DH.AB

c) Gọi F là trung điểm AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác (ảnh 1)

a) Ta có :

DI vuông CD (gt) Þ \(\widehat {IDC} = 90^\circ \)

CK vuông KI (gt) Þ \(\widehat {IKC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {IDC} = \widehat {IKC} = 90^\circ \)

Mà 2 góc này ở 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh CI

Suy ra CDIK là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:

\(\widehat {HCD} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ góc \(\widehat {KCB}\))

Xét ∆HCD và ∆ABC có:

\(\widehat {HCD} = \widehat {ABC}\) (cmt )

\(\widehat {HDC} = \widehat {ACB} = 90^\circ \)

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆HCD (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{BC}}{{DC}} = \frac{{AC}}{{HD}}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ )

Mà BD là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) (gt)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{HD}}\)

Suy ra AD.AC = DH.AB (đpcm)

c) Gọi giao điểm của BN với AD là F'.

Ta có: AC là tiếp tuyến của (I;ID) nên \(\widehat {CDM} = \widehat {CBD} = \widehat {ABD}\)

\( \Rightarrow \widehat {MDB} = \widehat {CDB} - \widehat {CDM} = \widehat {CDB} - \widehat {ABD} = \widehat {CAB}\)

Mà \(\widehat {MDB} = \widehat {MNB} = \widehat {ANF'} \Rightarrow \widehat {ANF'} = \widehat {CAB}\)

Từ đó ∆F'AN ᔕ ∆F'BA (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{F'A}}{{F'N}} = \frac{{F'B}}{{F'A}} \Rightarrow F'{A^2} = F'B\,.\,F'N\)

Mặt khác, vì F'D là tiếp tuyến của (I, ID) nên F'D² = F'B.F'N

Þ F'A = F'D Þ F' ≡ F.

Từ đó ta có đpcm.

Câu 2

Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu các học sinh ở cùng một khối thì xếp gần nhau.

Xem đáp án

Lời giải

Số cách sắp xếp học sinh ba khối 10, 11 và 12 là: 3!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 12 là: 4!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 11 là: 5!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 10 là: 6!;

Vậy số cách sắp xếp 15 học sinh thành hàng ngang để đón đại biểu là: 3!.4!.5!.6!

Câu 3