Câu hỏi:

05/05/2023 1,263

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = 1. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng $\frac{2}{3} .$ Thể tích của khối tứ diện OABC bằng

A. $\frac{1}{3} .$

B. $\frac{1}{6} .$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3} .$

D. $\frac{2}{3} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: (2023) Đề thi thử Toán THPT Chuyên Hùng Vương có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = 1. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC (ảnh 1)

Kẻ $A m / / O M, O H ⊥ A m (H \in A m), O K ⊥ C H (K \in C H)$ nên $d (O M, A C) = d (O M, (C A H))$

Ta có: $O C ⊥ (O A B) \Rightarrow O C ⊥ A H, O H ⊥ A H \Rightarrow A H ⊥ (O C H) \Rightarrow A H ⊥ O K$

Mà $d (O M, A C) = d (O M, (C A H)) = d (O, (C A H)) = O K = \frac{2}{3} .$

Vì tam giác OAB cân tại O nên $O M ⊥ A B, O M = A M = \frac{A B}{2}$ .

Vì $O H ⊥ A m \Rightarrow O H ⊥ O M$ và $O M ⊥ A B, A H / / O M \Rightarrow A H ⊥ A M$

Nên OHAM là hình vuông ( hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau)

Khi đó: $O H = A M = \frac{A B}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Do: $\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O H^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} \Rightarrow O C = 2 \Rightarrow V_{O . A B C} = \frac{1}{6} . O A . O B . O C = \frac{1}{3}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = $a \sqrt{3}$ , cạnh bên SA vuông góc với (ABCD). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng

A. $\frac{2 a}{5} .$

B. $\frac{3 a}{2} .$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{3} .$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Lời giải

Chọn D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a căn bậc hai 3, cạnh bên SA vuông góc với (ABCD). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng (ảnh 1)

Vẽ $B H ⊥ A C$ tại H, khi đó $\{\begin{cases} B H ⊥ A C \\ B H ⊥ S A (S A ⊥ (A B C)) \end{cases}$ nên $B H ⊥ (S A C)$

Do đó $d (B, (S A C)) = B H$ .

Ta có $B H = \sqrt{\frac{B A^{2} . B C^{2}}{B A^{2} + B C^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2} . {(a \sqrt{3})}^{2}}{a^{2} + {(a \sqrt{3})}^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , với $B C = A D = a \sqrt{3}$ .

Vậy

d (B, (S A C)) = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Câu 2

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = 2, $\overset{⏜}{B A C} = 120^{o}$ . Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy một góc 60^o . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = 3.$

B. $V = \frac{8}{3} .$

C. $V = \frac{3}{8} .$

D. $V = \frac{3}{4} .$

Lời giải

Chọn A

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = 2, góc BAC = 120 độ. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy một góc 60 độ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm B'C'. Ta có $A^{'} H ⊥ B^{'} C^{'}$ , do đó góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (ABC) là $\hat{A H A^{'}} = 60 °$ .

Có $A^{'} H = A^{'} B . \cos 60 ° = 2. \frac{1}{2} = 1$ .

Trong tam giác A'B'C' có $S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{2} A^{'} B^{'} . A^{'} C^{'} . \sin \hat{B^{'} A^{'} C^{'}} = \frac{1}{2} .2.2. \sin 120 ° = \sqrt{3}$ .

Trong tam giác AHA' vuông tại A' ta có : $A A^{'} = A^{'} H . \tan 60 ° = \sqrt{3}$ .

Do đó

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A^{'} B^{'} C^{'}} . A A^{'} = \sqrt{3} . \sqrt{3} = 3.

Câu 3

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ

Đặt g(x) = f(f(x) + 2). Phương trình g'(x) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 6

B. 7

C. 4

D. 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trên khoảng $(0; + \infty),$ đạo hàm của hàm số y = logx là

A. $y^{'} = \frac{1}{x} .$

B. $y^{'} = \frac{\ln 10}{x} .$

C. $y^{'} = \frac{1}{x \ln 10} .$

D. $y^{'} = \frac{1}{10 \ln x} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{1 - x}{x + m - 2}$ đồng biến trên khoảng $(6; + \infty) .$ Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng

A. -5

B. -6

C. -9

D. -10

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h bằng

A. $\frac{1}{3} π r^{2} h$

B. $2 π r h$

C. $\frac{4}{3} π r^{2} h$

D. $π r^{2} h$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA' và BB'. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C'A' tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C'B' tại Q. Thể tích khối đa diện lồi A'MPB'NQ bằng

A. 2

B. $\frac{2}{3} .$

C. 1

D. $\frac{1}{2} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử