a) Do ME, MF là tiếp tuyến với đường tròn suy ra ME = MF nên M thuộc đường trung trực của EF.

Ta có OE = OF nên O thuộc đường trung trực của EF.

Do đó OM là đường trung trực của EF.

Þ EF ⊥ OM.

Tứ giác ABHM có $\hat{B A M} = \hat{B H M} = 90 °$ , mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác này nội tiếp đường tròn bán kính MB.

b) Xét DOHB và DOAM có:

$\hat{O H B} = \hat{O A M} = 90 °; \hat{M O A}$ chung

$\Rightarrow Δ O H B ∽ Δ O A M (g . g)$

$\Rightarrow \frac{O H}{O A} = \frac{O B}{A M}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ OA.OB = OH.OM (1)

Xét DOHE và DOEM có:

$\hat{O H E} = \hat{O E M} = 90 °$ ; $\hat{M O E}$ chung

$\Rightarrow Δ O H E ∽ Δ O E M (g . g)$

$\Rightarrow \frac{O H}{O E} = \frac{O E}{O M}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ OH.OM = OE² (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA.OB = OH.OM = OE² = R².

c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O). Nối FI.

Ta có: $\hat{M F I} = \hat{F E I}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung FI)

Do EF ⊥ OM nên $\overset{⏜}{F I} = \overset{⏜}{E I}$ suy ra $\hat{F E I} = \hat{E F I}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

$\Rightarrow \hat{M F I} = \hat{E F I}$

Suy ra FI là phân giác của $\hat{M F E}$ .

Lại có MI là phân giác của góc $\hat{E M F}$ (do ME, MF là tiếp tuyến của (O)).

Do đó I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác MEF.

Þ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

Mà I thuộc đường tròn (O) cố định. Suy ra đpcm.

d) Diện tích tam giác HBO là: $S = \frac{1}{2} H O . H B$

Xét DOHB và DOAM có:

$\hat{O H B} = \hat{O A M} = 90 °; \hat{A O M}$ là góc chung

$\Rightarrow Δ O H B ∽ Δ O A M (g . g)$

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Tính giới hạn: $\lim [\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}]$ .

Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau.

b) Chứng minh AM vuông góc với BC.

c) Chứng minh AM là phân giác của góc A.

Chứng minh các hệ thức:

a) $1 + \tan^{2} a = \frac{1}{\cos^{2} a}$ ;

b) $1 + \cot^{2} a = \frac{1}{\sin^{2} a}$ .