Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O trực tâm H đường kính AD
a) Chứng minh \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \).

c) Gọi H' là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).

d) Gọi D' là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).

Lời giải

a) Kẻ đường cao BG, CF của tam giác ABC

Vì H là trực tâm nên H là giao điểm của BG và CF

Vì tam giác ABD nội tiếp (O) đường kính AD

Nên tam giác ABD vuông tại B, suy ra AB ⊥ BD

Mà AB ⊥ CF, do đó BD // CF (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Vì tam giác ACD nội tiếp (O) đường kính AD

Nên tam giác ACD vuông tại C, suy ra AC ⊥ CD

Mà AC ⊥ BG, do đó BG // CD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác BHCD có

BD // CF (chứng minh trên);

BG // CD (chứng minh trên)

Suy ra BHCD là hình bình hành

Do đó \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).

b) Xét hình bình hành BHCD có M là trung điểm BC

BC, HD là hai đường chéo

Suy ra M là trung điểm của HD

Xét tam giác AHD có O là trung điểm của AD, M là trung điểm của HD

Suy ra OM là đường trung bình

Do đó \(OM = \frac{1}{2}AH\)

Suy ra \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \)

c) Ta có \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} \)

\( = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} \)

\( = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} = \overrightarrow {HH'} \)

Vậy \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).

d) Xét (O) có △BCD’ và △BAD’ nội tiếp (O) đường kính BD’

Suy ra △BCD’ vuông tại A và △BAD’ vuông tại C

Khi đó AB ⊥ AD’ và BC ⊥ CD’

Ta có AB ⊥ CH, AB ⊥ AD’ nên CH // AD’ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Ta có BC ⊥ AH, BC ⊥ CD’ nên AH // CD’ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác AHCD’ có

CH // AD’ và AH // CD’ (chứng minh trên)

Suy ra AHCD’ là hình bình hành

Do đó AH = D’C