Câu hỏi:
12/07/2024 2,738
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O trực tâm H đường kính AD
a) Chứng minh \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).
b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \).
c) Gọi H' là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).
d) Gọi D' là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O trực tâm H đường kính AD
a) Chứng minh \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).
b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \).
c) Gọi H' là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).
d) Gọi D' là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Kẻ đường cao BG, CF của tam giác ABC
Vì H là trực tâm nên H là giao điểm của BG và CF
Vì tam giác ABD nội tiếp (O) đường kính AD
Nên tam giác ABD vuông tại B, suy ra AB ⊥ BD
Mà AB ⊥ CF, do đó BD // CF (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Vì tam giác ACD nội tiếp (O) đường kính AD
Nên tam giác ACD vuông tại C, suy ra AC ⊥ CD
Mà AC ⊥ BG, do đó BG // CD (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác BHCD có
BD // CF (chứng minh trên);
BG // CD (chứng minh trên)
Suy ra BHCD là hình bình hành
Do đó \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).
b) Xét hình bình hành BHCD có M là trung điểm BC
BC, HD là hai đường chéo
Suy ra M là trung điểm của HD
Xét tam giác AHD có O là trung điểm của AD, M là trung điểm của HD
Suy ra OM là đường trung bình
Do đó \(OM = \frac{1}{2}AH\)
Suy ra \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \)
c) Ta có \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} = \overrightarrow {HH'} \)
Vậy \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).
d) Xét (O) có △BCD’ và △BAD’ nội tiếp (O) đường kính BD’
Suy ra △BCD’ vuông tại A và △BAD’ vuông tại C
Khi đó AB ⊥ AD’ và BC ⊥ CD’
Ta có AB ⊥ CH, AB ⊥ AD’ nên CH // AD’ (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Ta có BC ⊥ AH, BC ⊥ CD’ nên AH // CD’ (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác AHCD’ có
CH // AD’ và AH // CD’ (chứng minh trên)
Suy ra AHCD’ là hình bình hành
Do đó AH = D’C
Suy ra \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a) Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB
Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét ΔAEH vuông tại H có HE ⊥ AC
Suy ra AH2 = AE . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà AH2 = AD . AB (chứng minh trên)
Suy ra AD . AB = AE . AC
b) Vì ΔABC vuông tại A nên AB2 + AC2 = BC2 (định lý Pytago)
Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC
Suy ra AB2 = BH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇔ AB2 . BC = BH . BC2
\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC - BH}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2} - A{B^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\)
c) Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC
Suy ra AH2 = BH . HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay AH2 = 4 . 9 = 36
Suy ra AH = 6
Xét tứ giác ADHE có \(\widehat {DAE} = \widehat {A{\rm{D}}H} = \widehat {A{\rm{E}}H} = 90^\circ \)
Suy ra ADHE là hình chữ nhật
Mà AH, DE là hai đường chéo
Suy ra DE = AH = 6 (cm)
Vì ΔABH vuông tại H nên HB2 + AH2 = BA2 (định lý Pytago)
Hay 42 + 62 = AB2
Suy ra \(AB = 2\sqrt {13} \)
Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB
Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay \({6^2} = A{\rm{D }}.{\rm{ }}2\sqrt {13} \)
Suy ra \(A{\rm{D = }}\frac{{18}}{{\sqrt {13} }}\)
Xét tam giác ADE vuông tại A có
\({\rm{cos}}\widehat {A{\rm{D}}E} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{DE}} = \frac{{18}}{{6\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)
Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}E} \approx 33^\circ \).
d) Vì ra ADHE là hình chữ nhật có AH, DE là hai đường chéo
Suy ra AH cắt DE tại trung điểm O của mỗi đường
Mà AH = DE
Do đó OH = OD
Suy ra tam giác OHD cân tại O
Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {O{\rm{D}}H}\)
Xét ΔHBD vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
Suy ra \(DM = MH = \frac{1}{2}BH = \frac{1}{2}.4 = 2\)
Do đó ΔDMH cân tại M
Suy ra \(\widehat {MDH} = \widehat {MH{\rm{D}}}\)
Mà \(\widehat {DHA} + \widehat {MH{\rm{D}}} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{ED}}H}\)(chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {H{\rm{D}}E} + \widehat {M{\rm{DH}}} = \widehat {M{\rm{D}}E} = 90^\circ \)
Hay MD ⊥ DE.
Chứng minh tương tự ta có \(EN = \frac{{CH}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\)
và \(\widehat {DEH} + \widehat {HEN} = \widehat {AHE} + \widehat {{\rm{EHN}}} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
Hay \(\widehat {DEN} = 90^\circ \)
Suy ra EN ⊥ DE
Mà MD ⊥ DE
Nên EN // MD (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác DENM có EN ⊥ DE, EN // MD (chứng minh trên)
Suy ra DENM là hình thang vuông
Do đó \({S_{DENM}} = \frac{{\left( {DM + EN} \right).DE}}{2} = \frac{{\left( {2 + 4,5} \right).6}}{2} = 19,5\,\,\left( {c{m^2}} \right)\) .
Lời giải
Lời giải
a) Vì BK là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AKB} = 90^\circ \)
Suy ra tam giác AKI vuông tại K
Do đó K thuộc đường tròn đường kính AI
b) Gọi O là trung điểm của AI
Vì OA = OK nên tam giác OAK cân tại O
Suy ra \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\)
Vì tam giác BCK vuông ở K nên \(\widehat {KBC} + \widehat {KCB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Vì tam giác ACH vuông ở H nên \(\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {HAC}\)
Mà \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {OK{\rm{A}}}\) (1)
Vì tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao
Nên AH là đường trung tuyến
Hay H là trung điểm của BC
Xét tam giác BCK vuông ở K có KH là trung tuyến
Suy ra BH = HK
Do đó tam giác BHK cân tại H
Suy ra \(\widehat {BHK} = \widehat {BKH}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AKO} = \widehat {BKH}\)
Mà \(\widehat {AKO} + \widehat {OKB} = \widehat {AKB} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BKO} + \widehat {BKH} = 90^\circ \)
Hay \(\widehat {HOK} = 90^\circ \)
Xét (O) có OH ⊥ HK
Suy ra HK là tiếp tuyến của (O)
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận