Câu hỏi:

15/05/2023 1,130

Giải hệ phương trình:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\{x^2}y + 2{\rm{x}}{y^2} + {y^3} = 2\end{array} \right.\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = \left( {x + 8} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\\{y^2} - 4\left( {{\rm{x + 2}}} \right)y + 16 + 16{\rm{x}} - 5{{\rm{x}}^2} = 0\end{array} \right.\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\{x^2}y + 2{\rm{x}}{y^2} + {y^3} = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^3} + 2{y^3} = 2\\{x^2}y + 2{\rm{x}}{y^2} + {y^3} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\2{{\rm{x}}^3} + {y^3} - {x^2}y - 2{\rm{x}}{y^2} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\{{\rm{x}}^2}\left( {2{\rm{x}} - y} \right) + {y^2}\left( {y - 2{\rm{x}}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\\left( {2{\rm{x}} - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\\left( {2{\rm{x}} - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\\left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - y = 0\\x - y = 0\\x + y = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\\left[ \begin{array}{l}2{\rm{x = y}}\\x = y\\x = - y\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\y = 2{\rm{x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 8{{\rm{x}}^3} = 1\\y = 2{\rm{x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt[3]{{\frac{1}{9}}}\\y = 2{\rm{x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt[3]{{\frac{1}{9}}}\\y = 2\sqrt[3]{{\frac{1}{9}}}\end{array} \right.\]

Þ Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{9}}};2\sqrt[3]{{\frac{1}{9}}}} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{\rm{x}}^3} = 1\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}\\y = \sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}\end{array} \right.\)

Þ Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{2}}};\sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}} \right)\).

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\x = - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {y^3} + {y^3} = 1\\x = - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0{y^3} = 1\left( {v\^o {\rm{ }}l\'i } \right)\\x = - y\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{9}}};2\sqrt[3]{{\frac{1}{9}}}} \right);\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{2}}};\sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}} \right)} \right\}\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = \left( {x + 8} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\\{y^2} - 4\left( {{\rm{x + 2}}} \right)y + 16 + 16{\rm{x}} - 5{{\rm{x}}^2} = 0\end{array} \right.\)

Ta có

Media VietJack

\(\left[ \begin{array}{l}x + y - 4 = 0\\y - 5{\rm{x}} - 4 = 0\end{array} \right.\)

\(\left[ \begin{array}{l}y = 4 - x\\y = 5{\rm{x + }}4\end{array} \right.\)

+) Nếu y = 5x + 4

y2 = (x + 8)(x2 + 2)

(5x + 4)2 = (x + 8)(x2 + 2)

25x2 – 40x + 16 = x3 + 2x + 8x2 + 16

x3 – 17x2 + 42x = 0

x(x2 – 17x + 42) = 0

x(x – 3)(x – 14) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 4\\x = 3 \Rightarrow y = 19\\x = 14 \Rightarrow y = 74\end{array} \right.\)

+) Nếu y = 4 – x

y2 = (x + 8)(x2 + 2)

(4 – x)2 = (x + 8)(x2 + 2)

x2 – 8x + 16 = x3 + 2x + 8x2 + 16

x3 + 7x2 + 10x = 0

x(x2 + 7x + 10) = 0

x(x + 2)(x + 5) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 4\\x = - 2 \Rightarrow y = 6\\x = - 5 \Rightarrow y = 9\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {(0; 4); (3; 19); (14; 74); (0; 4); (–2; 6); (–5; 9)}.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) Xét ΔABH vuông tại H có HD AB

Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét ΔAEH vuông tại H có HE AC

Suy ra AH2 = AE . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AH2 = AD . AB (chứng minh trên)

Suy ra AD . AB = AE . AC

b) ΔABC vuông tại A nên AB2 + AC2 = BC2 (định lý Pytago)

Xét ΔABC vuông tại A có AH BC

Suy ra AB2 = BH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

AB2 . BC = BH . BC2

\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC - BH}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2} - A{B^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\)

c) Xét ΔABC vuông tại A có AH BC

Suy ra AH2 = BH . HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay AH2 = 4 . 9 = 36

Suy ra AH = 6

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat {DAE} = \widehat {A{\rm{D}}H} = \widehat {A{\rm{E}}H} = 90^\circ \)

Suy ra ADHE là hình chữ nhật

Mà AH, DE là hai đường chéo

Suy ra DE = AH = 6 (cm)

ΔABH vuông tại H nên HB2 + AH2 = BA2 (định lý Pytago)

Hay 42 + 62 = AB2

Suy ra \(AB = 2\sqrt {13} \)

Xét ΔABH vuông tại H có HD AB

Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay \({6^2} = A{\rm{D }}.{\rm{ }}2\sqrt {13} \)

Suy ra \(A{\rm{D = }}\frac{{18}}{{\sqrt {13} }}\)

Xét tam giác ADE vuông tại A có

\({\rm{cos}}\widehat {A{\rm{D}}E} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{DE}} = \frac{{18}}{{6\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)

Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}E} \approx 33^\circ \).

d) Vì ra ADHE là hình chữ nhật có AH, DE là hai đường chéo

Suy ra AH cắt DE tại trung điểm O của mỗi đường

Mà AH = DE

Do đó OH = OD

Suy ra tam giác OHD cân tại O

Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {O{\rm{D}}H}\)

Xét ΔHBD vuông tại D DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra \(DM = MH = \frac{1}{2}BH = \frac{1}{2}.4 = 2\)

Do đó ΔDMH cân tại M

Suy ra \(\widehat {MDH} = \widehat {MH{\rm{D}}}\)

\(\widehat {DHA} + \widehat {MH{\rm{D}}} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)\(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{ED}}H}\)(chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {H{\rm{D}}E} + \widehat {M{\rm{DH}}} = \widehat {M{\rm{D}}E} = 90^\circ \)

Hay MD DE.

Chứng minh tương tự ta có \(EN = \frac{{CH}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\)

\(\widehat {DEH} + \widehat {HEN} = \widehat {AHE} + \widehat {{\rm{EHN}}} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {DEN} = 90^\circ \)

Suy ra EN DE

Mà MD DE

Nên EN // MD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác DENM có EN DE, EN // MD (chứng minh trên)

Suy ra DENM là hình thang vuông

Do đó \({S_{DENM}} = \frac{{\left( {DM + EN} \right).DE}}{2} = \frac{{\left( {2 + 4,5} \right).6}}{2} = 19,5\,\,\left( {c{m^2}} \right)\) .

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) Vì BK là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AKB} = 90^\circ \)

Suy ra tam giác AKI vuông tại K

Do đó K thuộc đường tròn đường kính AI

b) Gọi O là trung điểm của AI

Vì OA = OK nên tam giác OAK cân tại O

Suy ra \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\)

Vì tam giác BCK vuông ở K nên \(\widehat {KBC} + \widehat {KCB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Vì tam giác ACH vuông ở H nên \(\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {HAC}\)

\(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {OK{\rm{A}}}\)                           (1)

Vì tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao

Nên AH là đường trung tuyến

Hay H là trung điểm của BC

Xét tam giác BCK vuông ở K có KH là trung tuyến

Suy ra BH = HK

Do đó tam giác BHK cân tại H

Suy ra \(\widehat {BHK} = \widehat {BKH}\)                            (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AKO} = \widehat {BKH}\)

\(\widehat {AKO} + \widehat {OKB} = \widehat {AKB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BKO} + \widehat {BKH} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {HOK} = 90^\circ \)

Xét (O) có OH HK

Suy ra HK là tiếp tuyến của (O)

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Câu 6

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 4; 1); B(2; 4); C(2; 2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay