Câu hỏi:

15/05/2023 1,124

Giải hệ phương trình:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\{x^2}y + 2{\rm{x}}{y^2} + {y^3} = 2\end{array} \right.\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = \left( {x + 8} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\\{y^2} - 4\left( {{\rm{x + 2}}} \right)y + 16 + 16{\rm{x}} - 5{{\rm{x}}^2} = 0\end{array} \right.\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\{x^2}y + 2{\rm{x}}{y^2} + {y^3} = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^3} + 2{y^3} = 2\\{x^2}y + 2{\rm{x}}{y^2} + {y^3} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\2{{\rm{x}}^3} + {y^3} - {x^2}y - 2{\rm{x}}{y^2} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\{{\rm{x}}^2}\left( {2{\rm{x}} - y} \right) + {y^2}\left( {y - 2{\rm{x}}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\\left( {2{\rm{x}} - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\\left( {2{\rm{x}} - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\\left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - y = 0\\x - y = 0\\x + y = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\\left[ \begin{array}{l}2{\rm{x = y}}\\x = y\\x = - y\end{array} \right.\end{array} \right.\)

• \[\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\y = 2{\rm{x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 8{{\rm{x}}^3} = 1\\y = 2{\rm{x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt[3]{{\frac{1}{9}}}\\y = 2{\rm{x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt[3]{{\frac{1}{9}}}\\y = 2\sqrt[3]{{\frac{1}{9}}}\end{array} \right.\]

Þ Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{9}}};2\sqrt[3]{{\frac{1}{9}}}} \right)\).

• \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{\rm{x}}^3} = 1\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}\\y = \sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}\end{array} \right.\)

Þ Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{2}}};\sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}} \right)\).

• \[\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\x = - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {y^3} + {y^3} = 1\\x = - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0{y^3} = 1\left( {v\^o {\rm{ }}l\'i } \right)\\x = - y\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{9}}};2\sqrt[3]{{\frac{1}{9}}}} \right);\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{2}}};\sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}} \right)} \right\}\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = \left( {x + 8} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\\{y^2} - 4\left( {{\rm{x + 2}}} \right)y + 16 + 16{\rm{x}} - 5{{\rm{x}}^2} = 0\end{array} \right.\)

Ta có

Media VietJack

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + y - 4 = 0\\y - 5{\rm{x}} - 4 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 4 - x\\y = 5{\rm{x + }}4\end{array} \right.\)

+) Nếu y = 5x + 4

y² = (x + 8)(x² + 2)

⇔ (5x + 4)² = (x + 8)(x² + 2)

⇔ 25x² – 40x + 16 = x³ + 2x + 8x² + 16

⇔ x³ – 17x² + 42x = 0

⇔ x(x² – 17x + 42) = 0

⇔ x(x – 3)(x – 14) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 4\\x = 3 \Rightarrow y = 19\\x = 14 \Rightarrow y = 74\end{array} \right.\)

+) Nếu y = 4 – x

y² = (x + 8)(x² + 2)

⇔ (4 – x)² = (x + 8)(x² + 2)

⇔ x² – 8x + 16 = x³ + 2x + 8x² + 16

⇔ x³ + 7x² + 10x = 0

⇔ x(x² + 7x + 10) = 0

⇔ x(x + 2)(x + 5) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 4\\x = - 2 \Rightarrow y = 6\\x = - 5 \Rightarrow y = 9\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {(0; 4); (3; 19); (14; 74); (0; 4); (–2; 6); (–5; 9)}.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.

a) Chứng minh AD . AB = AE . AC.

b) Chứng minh \(\frac{{BH}}{{HC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\).

c) Cho BH = 4 cm, CH = 9 cm. Tính DE và \(\widehat {A{\rm{D}}E}\) (làm tròn đến độ).

d) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH. Tính S_DENM.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB

Suy ra AH² = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét ΔAEH vuông tại H có HE ⊥ AC

Suy ra AH² = AE . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AH² = AD . AB (chứng minh trên)

Suy ra AD . AB = AE . AC

b) Vì ΔABC vuông tại A nên AB² + AC² = BC² (định lý Pytago)

Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AB² = BH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇔ AB² . BC = BH . BC²

\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC - BH}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2} - A{B^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\)

c) Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AH² = BH . HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay AH² = 4 . 9 = 36

Suy ra AH = 6

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat {DAE} = \widehat {A{\rm{D}}H} = \widehat {A{\rm{E}}H} = 90^\circ \)

Suy ra ADHE là hình chữ nhật

Mà AH, DE là hai đường chéo

Suy ra DE = AH = 6 (cm)

Vì ΔABH vuông tại H nên HB² + AH² = BA² (định lý Pytago)

Hay 4² + 6²= AB²

Suy ra \(AB = 2\sqrt {13} \)

Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB

Suy ra AH² = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay \({6^2} = A{\rm{D }}.{\rm{ }}2\sqrt {13} \)

Suy ra \(A{\rm{D = }}\frac{{18}}{{\sqrt {13} }}\)

Xét tam giác ADE vuông tại A có

\({\rm{cos}}\widehat {A{\rm{D}}E} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{DE}} = \frac{{18}}{{6\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)

Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}E} \approx 33^\circ \).

d) Vì ra ADHE là hình chữ nhật có AH, DE là hai đường chéo

Suy ra AH cắt DE tại trung điểm O của mỗi đường

Mà AH = DE

Do đó OH = OD

Suy ra tam giác OHD cân tại O

Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {O{\rm{D}}H}\)

Xét ΔHBD vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra \(DM = MH = \frac{1}{2}BH = \frac{1}{2}.4 = 2\)

Do đó ΔDMH cân tại M

Suy ra \(\widehat {MDH} = \widehat {MH{\rm{D}}}\)

Mà \(\widehat {DHA} + \widehat {MH{\rm{D}}} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{ED}}H}\)(chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {H{\rm{D}}E} + \widehat {M{\rm{DH}}} = \widehat {M{\rm{D}}E} = 90^\circ \)

Hay MD ⊥ DE.

Chứng minh tương tự ta có \(EN = \frac{{CH}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\)

và \(\widehat {DEH} + \widehat {HEN} = \widehat {AHE} + \widehat {{\rm{EHN}}} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {DEN} = 90^\circ \)

Suy ra EN ⊥ DE

Mà MD ⊥ DE

Nên EN // MD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác DENM có EN ⊥ DE, EN // MD (chứng minh trên)

Suy ra DENM là hình thang vuông

Do đó \({S_{DENM}} = \frac{{\left( {DM + EN} \right).DE}}{2} = \frac{{\left( {2 + 4,5} \right).6}}{2} = 19,5\,\,\left( {c{m^2}} \right)\) .

Câu 2

Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.

b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) Vì BK là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AKB} = 90^\circ \)

Suy ra tam giác AKI vuông tại K

Do đó K thuộc đường tròn đường kính AI

b) Gọi O là trung điểm của AI

Vì OA = OK nên tam giác OAK cân tại O

Suy ra \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\)

Vì tam giác BCK vuông ở K nên \(\widehat {KBC} + \widehat {KCB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Vì tam giác ACH vuông ở H nên \(\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {HAC}\)

Mà \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {OK{\rm{A}}}\) (1)

Vì tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao

Nên AH là đường trung tuyến

Hay H là trung điểm của BC

Xét tam giác BCK vuông ở K có KH là trung tuyến

Suy ra BH = HK

Do đó tam giác BHK cân tại H

Suy ra \(\widehat {BHK} = \widehat {BKH}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AKO} = \widehat {BKH}\)

Mà \(\widehat {AKO} + \widehat {OKB} = \widehat {AKB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BKO} + \widehat {BKH} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {HOK} = 90^\circ \)

Xét (O) có OH ⊥ HK

Suy ra HK là tiếp tuyến của (O)

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Câu 3

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) MC² = 3R².

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại 2 điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.

a) Chứng minh OH . OM không đổi.

b) Chứng minh bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.

c) Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình bình hành ABCD. Hai đầu M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm các tổng:

a) \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} ,\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {NC} \).

b) \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} \).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho đường thẳng d₁: y = 3mx – m² và d₂: y = 3x + m – 2. Tìm m để d₁ và d₂ cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(– 4; 1); B(2; 4); C(2; –2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.

A. \(I\left( {\frac{1}{4};1} \right)\);

B. \(I\left( {\frac{{ - 1}}{4};1} \right)\);

C. \(I\left( {1;\frac{1}{4}} \right)\);

D. \(I\left( {1;\frac{{ - 1}}{4}} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Bình luận

Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh: a) Đường tròn đường kính AI đi qua K. b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh: a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) MC2 = 3R2.

Cho đường thẳng d1: y = 3mx – m2 và d2: y = 3x + m – 2. Tìm m để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(– 4; 1); B(2; 4); C(2; –2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.

b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) MC² = 3R².

Cho đường thẳng d₁: y = 3mx – m² và d₂: y = 3x + m – 2. Tìm m để d₁ và d₂ cắt nhau tại một điểm trên trục tung.