Một mảnh vườn hình chữ nhật được chia thành hai phần là hai hình bằng nhau có cạnh 4m. Tính chu vi mảnh vườn hình chữ nhật.

Lời giải

a) Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB

Suy ra AH² = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét ΔAEH vuông tại H có HE ⊥ AC

Suy ra AH² = AE . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AH² = AD . AB (chứng minh trên)

Suy ra AD . AB = AE . AC

b) Vì ΔABC vuông tại A nên AB² + AC² = BC² (định lý Pytago)

Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AB² = BH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇔ AB² . BC = BH . BC²

\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BC - BH}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2} - A{B^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\)

c) Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AH² = BH . HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay AH² = 4 . 9 = 36

Suy ra AH = 6

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat {DAE} = \widehat {A{\rm{D}}H} = \widehat {A{\rm{E}}H} = 90^\circ \)

Suy ra ADHE là hình chữ nhật

Mà AH, DE là hai đường chéo

Suy ra DE = AH = 6 (cm)

Vì ΔABH vuông tại H nên HB² + AH² = BA² (định lý Pytago)

Hay 4² + 6² = AB²

Suy ra \(AB = 2\sqrt {13} \)

Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB

Suy ra AH² = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay \({6^2} = A{\rm{D }}.{\rm{ }}2\sqrt {13} \)

Suy ra \(A{\rm{D = }}\frac{{18}}{{\sqrt {13} }}\)

Xét tam giác ADE vuông tại A có

\({\rm{cos}}\widehat {A{\rm{D}}E} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{DE}} = \frac{{18}}{{6\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)

Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}E} \approx 33^\circ \).

d) Vì ra ADHE là hình chữ nhật có AH, DE là hai đường chéo

Suy ra AH cắt DE tại trung điểm O của mỗi đường

Mà AH = DE

Do đó OH = OD

Suy ra tam giác OHD cân tại O

Suy ra \(\widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {O{\rm{D}}H}\)

Xét ΔHBD vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra \(DM = MH = \frac{1}{2}BH = \frac{1}{2}.4 = 2\)

Do đó ΔDMH cân tại M

Suy ra \(\widehat {MDH} = \widehat {MH{\rm{D}}}\)

Mà \(\widehat {DHA} + \widehat {MH{\rm{D}}} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{ED}}H}\)(chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {H{\rm{D}}E} + \widehat {M{\rm{DH}}} = \widehat {M{\rm{D}}E} = 90^\circ \)

Hay MD ⊥ DE.

Chứng minh tương tự ta có \(EN = \frac{{CH}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\)

và \(\widehat {DEH} + \widehat {HEN} = \widehat {AHE} + \widehat {{\rm{EHN}}} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {DEN} = 90^\circ \)

Suy ra EN ⊥ DE

Mà MD ⊥ DE

Nên EN // MD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác DENM có EN ⊥ DE, EN // MD (chứng minh trên)

Suy ra DENM là hình thang vuông

Do đó \({S_{DENM}} = \frac{{\left( {DM + EN} \right).DE}}{2} = \frac{{\left( {2 + 4,5} \right).6}}{2} = 19,5\,\,\left( {c{m^2}} \right)\) .

Lời giải

a) Vì BK là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AKB} = 90^\circ \)

Suy ra tam giác AKI vuông tại K

Do đó K thuộc đường tròn đường kính AI

b) Gọi O là trung điểm của AI

Vì OA = OK nên tam giác OAK cân tại O

Suy ra \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\)

Vì tam giác BCK vuông ở K nên \(\widehat {KBC} + \widehat {KCB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Vì tam giác ACH vuông ở H nên \(\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {HAC}\)

Mà \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {OK{\rm{A}}}\)                           (1)

Vì tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao

Nên AH là đường trung tuyến

Hay H là trung điểm của BC

Xét tam giác BCK vuông ở K có KH là trung tuyến

Suy ra BH = HK

Do đó tam giác BHK cân tại H

Suy ra \(\widehat {BHK} = \widehat {BKH}\)                            (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AKO} = \widehat {BKH}\)

Mà \(\widehat {AKO} + \widehat {OKB} = \widehat {AKB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BKO} + \widehat {BKH} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {HOK} = 90^\circ \)

Xét (O) có OH ⊥ HK

Suy ra HK là tiếp tuyến của (O)

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.