Câu hỏi:

19/08/2025 15,926 Lưu

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm.

a) Tính số đo góc B, góc C (làm tròn đến độ) và đường cao AH.

b) Chứng minh rằng AB. cos B + AC . cosC = BC.

c) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = 2DA. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB2 + AC2 = BC2 (định lí Pytago)

Hay 62 + 82 = BC2, suy ra BC = 10 (cm).

Xét tam giác ABC có \[\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}\], suy ra \(\widehat B \approx 53^\circ \)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B \approx 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ \)

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Suy ra AH . BC = AB . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay AH . 10 = 6 . 8

Suy ra AH = 4,8 cm.

b) Vì tam giác ABH vuông tại H nên BH = AB . cosB

Vì tam giác ACH vuông tại H nên CH = AC . cosC

Ta có BC = CH + BH = AC . cosC + AB . cosB.

c) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH BC

Suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                     (1)

Ta có AH BC, DE BC nên AH // DE (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Suy ra \(\frac{{DE}}{{AH}} = \frac{{C{\rm{D}}}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) (vì CD = 2AD)

Suy ra \(\frac{{D{E^2}}}{{A{H^2}}} = \frac{4}{9}\)

Do đó \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\)                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\)

Vậy \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC

Nên DM AB và ME AC, hay \(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ADME có \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật.

b) Xét ΔABC vuông tại A có M là trung điểm BC

Suy ra \(AM = \frac{1}{2}BC\)

Vì ADME là hình chữ nhật có AM, DE là hai đường chéo, suy ra AM = DE

\(AM = \frac{1}{2}BC\)

Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\).

c) Ta có AD AC và ME AC, suy ra AD // ME

Mà M là trung điểm của BC

Suy ra E là trung điểm của AC

Xét tam giác AMC có E, Q lần lượt là trung điểm của AC, MC

Suy ra QE là đường trung bình

Do đó QE // AM, \(QE = \frac{1}{2}AM\)                                     (1)

Ta có DM AB và AB AC

Suy ra DM // AC

Mà M là trung điểm của BC

Suy ra D là trung điểm của AB

Xét ΔBAM có D, P lần lượt là trung điểm của AB và BM

Suy ra DP là đường trung bình của ΔBAM

Do đó DP // AM và \(DP = \frac{1}{2}AM\)                     (2)

Từ (1) và (2) suy ra DP // EQ, DP = EQ

Do đó DPQE là hình bình hành.

Gọi O là tâm đối xứng của DPQE (là giao điểm 2 đường chéo)

Ta có P, Q lần lượt là trung điểm của BM, MC và M là trung điểm BC

Suy ra M là trung điểm PQ

Xét hình bình hành DPQE có AM // DP và M là trung điểm PQ

Suy ra AM là đường trung bình của DPQE

Do đó AM đi qua trung điểm DE, gọi điểm đó là F

Từ đó AM là trục đối xứng của DPQE tức là đi qua O

Vậy tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.

d) Để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì \(\widehat {APQ} = \widehat {PQE} = \widehat {QE{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{D}}P} = 90^\circ \)

Ta xét ΔBAM nếu DP BM thì AM BM

Xét ΔABC có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Suy ra ΔABC vuông cân tại A

Vậy để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì tam giác vuông ΔABC cần thêm điều kiện cân tại A.

Lời giải

Lời giải

Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc

a3 + b3 + c3 – 3abc = 0

(a + b + c)(a² + b² + c² ab bc ca) = 0 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\end{array} \right.\)

+) TH1: a + b + c = 0

Suy ra a = – (b + c); b = – (a + c); c = – (b + a)

Thay vào P ta có

\(P = \left( {1 - \frac{{b + c}}{b}} \right)\left( {1 - \frac{{a + c}}{c}} \right)\left( {1 - \frac{{a + b}}{a}} \right)\)

\(P = \left( {1 - 1 - \frac{c}{b}} \right)\left( {1 - 1 - \frac{a}{c}} \right)\left( {1 - 1 - \frac{b}{a}} \right)\)

\(P = - \frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a} = - 1\)

+) TH2: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0

2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0

(a2 – 2ab + b2) + (c2 – 2bc + b2) + (a2 – 2ca + c2) = 0

(a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2 = 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\a - c = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right.\) a = b = c

Thay vào P ta có

P = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8.

Vậy P = –1 hoặc P = 8.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP