Với a³ + b³ + c³ = 3abc. Tính \(P = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right)\).

Lời giải

a) Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC

Nên DM ⊥ AB và ME ⊥ AC, hay \(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ADME có \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật.

b) Xét ΔABC vuông tại A có M là trung điểm BC

Suy ra \(AM = \frac{1}{2}BC\)

Vì ADME là hình chữ nhật có AM, DE là hai đường chéo, suy ra AM = DE

Mà \(AM = \frac{1}{2}BC\)

Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\).

c) Ta có AD ⊥ AC và ME ⊥ AC, suy ra AD // ME

Mà M là trung điểm của BC

Suy ra E là trung điểm của AC

Xét tam giác AMC có E, Q lần lượt là trung điểm của AC, MC

Suy ra QE là đường trung bình

Do đó QE // AM, \(QE = \frac{1}{2}AM\)                                     (1)

Ta có DM ⊥ AB và AB ⊥ AC

Suy ra DM // AC

Mà M là trung điểm của BC

Suy ra D là trung điểm của AB

Xét ΔBAM có D, P lần lượt là trung điểm của AB và BM

Suy ra DP là đường trung bình của ΔBAM

Do đó DP // AM và \(DP = \frac{1}{2}AM\)                     (2)

Từ (1) và (2) suy ra DP // EQ, DP = EQ

Do đó DPQE là hình bình hành.

Gọi O là tâm đối xứng của DPQE (là giao điểm 2 đường chéo)

Ta có P, Q lần lượt là trung điểm của BM, MC và M là trung điểm BC

Suy ra M là trung điểm PQ

Xét hình bình hành DPQE có AM // DP và M là trung điểm PQ

Suy ra AM là đường trung bình của DPQE

Do đó AM đi qua trung điểm DE, gọi điểm đó là F

Từ đó AM là trục đối xứng của DPQE tức là đi qua O

Vậy tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.

d) Để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì \(\widehat {APQ} = \widehat {PQE} = \widehat {QE{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{D}}P} = 90^\circ \)

Ta xét ΔBAM nếu DP ⊥ BM thì AM ⊥ BM

Xét ΔABC có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Suy ra ΔABC vuông cân tại A

Vậy để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì tam giác vuông ΔABC cần thêm điều kiện cân tại A.

Lời giải

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB² + AC² = BC² (định lí Pytago)

Hay 6² + 8² = BC², suy ra BC = 10 (cm).

Xét tam giác ABC có \[\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}\], suy ra \(\widehat B \approx 53^\circ \)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B \approx 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ \)

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Suy ra AH . BC = AB . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay AH . 10 = 6 . 8

Suy ra AH = 4,8 cm.

b) Vì tam giác ABH vuông tại H nên BH = AB . cosB

Vì tam giác ACH vuông tại H nên CH = AC . cosC

Ta có BC = CH + BH = AC . cosC + AB . cosB.

c) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                     (1)

Ta có AH ⊥ BC, DE ⊥ BC nên AH // DE (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Suy ra \(\frac{{DE}}{{AH}} = \frac{{C{\rm{D}}}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) (vì CD = 2AD)

Suy ra \(\frac{{D{E^2}}}{{A{H^2}}} = \frac{4}{9}\)

Do đó \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\)                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\)