Câu hỏi:

19/08/2025 13,024 Lưu

Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)

Dựng hình bình hành ABCD ta có \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} \)

Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {M{\rm{D}}} \)

Khi đó \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\overrightarrow {MG} + 3\overrightarrow {M{\rm{D}}} \ge 3\overrightarrow {G{\rm{D}}} \)

(vì G và D nằm khác phía với đường thẳng AC)

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của DG và AC

Hay M là trung điểm của AC

Mà ABCD là hình bình hành

Suy ra M là trung điểm của BD

Do đó MB = MD

Vì tam giác ABC đều có BM là trung tuyến

Nên BM là đường cao

Hay tam giác BCM vuông tại M

Suy ra \(BM = \sqrt {B{C^2} - C{M^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \(DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \[GM = \frac{1}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Ta có DG = DM + GM

Hay \[DG = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \(2\sqrt 3 a\) khi M là trung điểm của AC.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC

Nên DM AB và ME AC, hay \(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ADME có \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật.

b) Xét ΔABC vuông tại A có M là trung điểm BC

Suy ra \(AM = \frac{1}{2}BC\)

Vì ADME là hình chữ nhật có AM, DE là hai đường chéo, suy ra AM = DE

\(AM = \frac{1}{2}BC\)

Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\).

c) Ta có AD AC và ME AC, suy ra AD // ME

Mà M là trung điểm của BC

Suy ra E là trung điểm của AC

Xét tam giác AMC có E, Q lần lượt là trung điểm của AC, MC

Suy ra QE là đường trung bình

Do đó QE // AM, \(QE = \frac{1}{2}AM\)                                     (1)

Ta có DM AB và AB AC

Suy ra DM // AC

Mà M là trung điểm của BC

Suy ra D là trung điểm của AB

Xét ΔBAM có D, P lần lượt là trung điểm của AB và BM

Suy ra DP là đường trung bình của ΔBAM

Do đó DP // AM và \(DP = \frac{1}{2}AM\)                     (2)

Từ (1) và (2) suy ra DP // EQ, DP = EQ

Do đó DPQE là hình bình hành.

Gọi O là tâm đối xứng của DPQE (là giao điểm 2 đường chéo)

Ta có P, Q lần lượt là trung điểm của BM, MC và M là trung điểm BC

Suy ra M là trung điểm PQ

Xét hình bình hành DPQE có AM // DP và M là trung điểm PQ

Suy ra AM là đường trung bình của DPQE

Do đó AM đi qua trung điểm DE, gọi điểm đó là F

Từ đó AM là trục đối xứng của DPQE tức là đi qua O

Vậy tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.

d) Để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì \(\widehat {APQ} = \widehat {PQE} = \widehat {QE{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{D}}P} = 90^\circ \)

Ta xét ΔBAM nếu DP BM thì AM BM

Xét ΔABC có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Suy ra ΔABC vuông cân tại A

Vậy để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì tam giác vuông ΔABC cần thêm điều kiện cân tại A.

Lời giải

Lời giải

Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc

a3 + b3 + c3 – 3abc = 0

(a + b + c)(a² + b² + c² ab bc ca) = 0 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\end{array} \right.\)

+) TH1: a + b + c = 0

Suy ra a = – (b + c); b = – (a + c); c = – (b + a)

Thay vào P ta có

\(P = \left( {1 - \frac{{b + c}}{b}} \right)\left( {1 - \frac{{a + c}}{c}} \right)\left( {1 - \frac{{a + b}}{a}} \right)\)

\(P = \left( {1 - 1 - \frac{c}{b}} \right)\left( {1 - 1 - \frac{a}{c}} \right)\left( {1 - 1 - \frac{b}{a}} \right)\)

\(P = - \frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a} = - 1\)

+) TH2: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0

2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0

(a2 – 2ab + b2) + (c2 – 2bc + b2) + (a2 – 2ca + c2) = 0

(a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2 = 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\a - c = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right.\) a = b = c

Thay vào P ta có

P = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8.

Vậy P = –1 hoặc P = 8.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP