Câu hỏi:
16/05/2023 12,513
Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Khi đó \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Dựng hình bình hành ABCD ta có \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} \)
Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {M{\rm{D}}} \)
Khi đó \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\overrightarrow {MG} + 3\overrightarrow {M{\rm{D}}} \ge 3\overrightarrow {G{\rm{D}}} \)
(vì G và D nằm khác phía với đường thẳng AC)
Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của DG và AC
Hay M là trung điểm của AC
Mà ABCD là hình bình hành
Suy ra M là trung điểm của BD
Do đó MB = MD
Vì tam giác ABC đều có BM là trung tuyến
Nên BM là đường cao
Hay tam giác BCM vuông tại M
Suy ra \(BM = \sqrt {B{C^2} - C{M^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra \(DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \[GM = \frac{1}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]
Ta có DG = DM + GM
Hay \[DG = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \(2\sqrt 3 a\) khi M là trung điểm của AC.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a) Ta có
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC} = a.a.c{\rm{os60}}^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).
b) Ta có
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = - BA.BC.cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = - BA.BC.co{\rm{s60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{ - {a^2}}}{2}\).
c) Gọi E là trung điểm của BC.
Suy ra \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OE} \).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = 2\overrightarrow {OE} .\overrightarrow {CB} \)
\( = 2{\rm{O}}E.CB.co{\rm{s}}\left( {\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)
\( = 2{\rm{O}}E.CB.\cos 90^\circ = 0\).
d) Ta có \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = AC.BC.cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = AC.BC.co{\rm{s60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{{a^2}}}{2}\)
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC} } \right)\)
\( = {\overrightarrow {AB} ^2} - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - 6\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \)
\( = {a^2} + \frac{{3{{\rm{a}}^2}}}{2} + {a^2} - 3{{\rm{a}}^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Lời giải
Lời giải
a) Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC
Nên DM ⊥ AB và ME ⊥ AC, hay \(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)
Xét tứ giác ADME có \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)
Suy ra ADME là hình chữ nhật.
b) Xét ΔABC vuông tại A có M là trung điểm BC
Suy ra \(AM = \frac{1}{2}BC\)
Vì ADME là hình chữ nhật có AM, DE là hai đường chéo, suy ra AM = DE
Mà \(AM = \frac{1}{2}BC\)
Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\).
c) Ta có AD ⊥ AC và ME ⊥ AC, suy ra AD // ME
Mà M là trung điểm của BC
Suy ra E là trung điểm của AC
Xét tam giác AMC có E, Q lần lượt là trung điểm của AC, MC
Suy ra QE là đường trung bình
Do đó QE // AM, \(QE = \frac{1}{2}AM\) (1)
Ta có DM ⊥ AB và AB ⊥ AC
Suy ra DM // AC
Mà M là trung điểm của BC
Suy ra D là trung điểm của AB
Xét ΔBAM có D, P lần lượt là trung điểm của AB và BM
Suy ra DP là đường trung bình của ΔBAM
Do đó DP // AM và \(DP = \frac{1}{2}AM\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra DP // EQ, DP = EQ
Do đó DPQE là hình bình hành.
Gọi O là tâm đối xứng của DPQE (là giao điểm 2 đường chéo)
Ta có P, Q lần lượt là trung điểm của BM, MC và M là trung điểm BC
Suy ra M là trung điểm PQ
Xét hình bình hành DPQE có AM // DP và M là trung điểm PQ
Suy ra AM là đường trung bình của DPQE
Do đó AM đi qua trung điểm DE, gọi điểm đó là F
Từ đó AM là trục đối xứng của DPQE tức là đi qua O
Vậy tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì \(\widehat {APQ} = \widehat {PQE} = \widehat {QE{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{D}}P} = 90^\circ \)
Ta xét ΔBAM nếu DP ⊥ BM thì AM ⊥ BM
Xét ΔABC có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
Suy ra ΔABC vuông cân tại A
Vậy để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì tam giác vuông ΔABC cần thêm điều kiện cân tại A.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
Nhắn tin Zalo