Câu hỏi:

16/05/2023 8,826

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

 Media VietJack

Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD

Xét (O) có CM, CA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {MOC} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)

Xét (O) có DM, DB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D

Suy ra \(\widehat {BOD} = \widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)

Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow \widehat {COM} + \widehat {DOM} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow \widehat {COD} = 90^\circ \)

Hay tam giác COD vuông tại O

Nên IO là bán kính của (I)

Ta có AB CA, AB BD

Suy ra AC // BD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Do đó ACDB là hình thang

Mà I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB

Suy ra IO là đường trung bình của hình thang ACDB

Do đó IO // AC

Mà AB CA

Nên AB OI (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét (I) có OI là bán kính, AB OI (chứng minh trên)

Suy ra AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC} = a.a.c{\rm{os60}}^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).

b) Ta có

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = - BA.BC.cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = - BA.BC.co{\rm{s60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{ - {a^2}}}{2}\).

c) Gọi E là trung điểm của BC.

Suy ra \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OE} \).

Ta có \(\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = 2\overrightarrow {OE} .\overrightarrow {CB} \)

\( = 2{\rm{O}}E.CB.co{\rm{s}}\left( {\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)

\( = 2{\rm{O}}E.CB.\cos 90^\circ = 0\).

d) Ta có \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = AC.BC.cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = AC.BC.co{\rm{s60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{{a^2}}}{2}\)

Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = {\overrightarrow {AB} ^2} - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - 6\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \)

\( = {a^2} + \frac{{3{{\rm{a}}^2}}}{2} + {a^2} - 3{{\rm{a}}^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC

Nên DM AB và ME AC, hay \(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ADME có \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật.

b) Xét ΔABC vuông tại A có M là trung điểm BC

Suy ra \(AM = \frac{1}{2}BC\)

Vì ADME là hình chữ nhật có AM, DE là hai đường chéo, suy ra AM = DE

\(AM = \frac{1}{2}BC\)

Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\).

c) Ta có AD AC và ME AC, suy ra AD // ME

Mà M là trung điểm của BC

Suy ra E là trung điểm của AC

Xét tam giác AMC có E, Q lần lượt là trung điểm của AC, MC

Suy ra QE là đường trung bình

Do đó QE // AM, \(QE = \frac{1}{2}AM\)                                     (1)

Ta có DM AB và AB AC

Suy ra DM // AC

Mà M là trung điểm của BC

Suy ra D là trung điểm của AB

Xét ΔBAM có D, P lần lượt là trung điểm của AB và BM

Suy ra DP là đường trung bình của ΔBAM

Do đó DP // AM và \(DP = \frac{1}{2}AM\)                     (2)

Từ (1) và (2) suy ra DP // EQ, DP = EQ

Do đó DPQE là hình bình hành.

Gọi O là tâm đối xứng của DPQE (là giao điểm 2 đường chéo)

Ta có P, Q lần lượt là trung điểm của BM, MC và M là trung điểm BC

Suy ra M là trung điểm PQ

Xét hình bình hành DPQE có AM // DP và M là trung điểm PQ

Suy ra AM là đường trung bình của DPQE

Do đó AM đi qua trung điểm DE, gọi điểm đó là F

Từ đó AM là trục đối xứng của DPQE tức là đi qua O

Vậy tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.

d) Để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì \(\widehat {APQ} = \widehat {PQE} = \widehat {QE{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{D}}P} = 90^\circ \)

Ta xét ΔBAM nếu DP BM thì AM BM

Xét ΔABC có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Suy ra ΔABC vuông cân tại A

Vậy để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì tam giác vuông ΔABC cần thêm điều kiện cân tại A.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP